Решение задач с реальными дискретными случайными величинами 1.Контрольная работа по теории вероятностей состоит из 4 задач. Вероятность решить каждую задачу для данного студента равна 0,7. Случайная величина X – число правильно решенных задач.
Найдите:
a)Вероятность того, что случайная величина Xпримет значение больше 3-х.
b)Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
a) Вам нужно найти вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 3-х. Обозначим событие "X примет значение больше 3-х" как A.
Чтобы найти вероятность A, вам необходимо найти вероятность комплимента этого события. Комплиментом A будет событие "X примет значение меньше или равно 3-х". Обозначим его как A'.
Задача говорит, что вероятность решения каждой задачи для данного студента равна 0,7. Это означает, что вероятность не решить каждую задачу для данного студента равна 1 - 0,7 = 0,3.
Событие A' представляет собой случай, когда студент решит 0, 1, 2 или 3 задачи. Эти ситуации могут произойти в различных комбинациях, и для каждой комбинации мы можем посчитать вероятность.
Мы знаем, что количество комбинаций из 4 задач, в которых решено n задач, равно C(4, n) = 4! / (n! * (4-n)!), где n! обозначает факториал числа n.
Таким образом, вероятность A' равна сумме вероятностей для каждой комбинации, то есть:
P(A') = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3),
где P(X=n) - вероятность случайной величины X принять значение n и P(X=n) = 0,7^n * 0,3^(4-n).
Давайте вычислим эти значения:
P(X=0) = 0,7^0 * 0,3^4 = 0,3^4 = 0,0081
P(X=1) = 0,7^1 * 0,3^3 = 0,00729
P(X=2) = 0,7^2 * 0,3^2 = 0,03087
P(X=3) = 0,7^3 * 0,3^1 = 0,2058
Теперь мы можем найти вероятность A:
P(A) = 1 - P(A') = 1 - (0,0081 + 0,00729 + 0,03087 + 0,2058) = 1 - 0,25206 = 0,74794
Таким образом, вероятность того, что случайная величина X примет значение больше 3-х, составляет около 0,74794 или приближенно 74,79%.
b) Теперь рассмотрим вторую часть задачи - вычисление математического ожидания и дисперсии случайной величины X.
Математическое ожидание случайной величины X, обозначается как E(X) или μ, вычисляется по формуле:
E(X) = Σ(x_i * P(X=x_i)),
где x_i - значения случайной величины X (0, 1, 2, 3) и P(X=x_i) - соответствующие вероятности.
E(X) = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2) + 3*P(X=3) = 0*0,0081 + 1*0,00729 + 2*0,03087 + 3*0,2058 ≈ 0,9984.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно приблизительно 0,9984.
Дисперсия случайной величины X, обозначается как Var(X) или σ^2, вычисляется по формуле:
Var(X) = Σ((x_i - E(X))^2 * P(X=x_i)),
где x_i и P(X=x_i) определены ранее, а E(X) - математическое ожидание.
Var(X) = (0 - 0,9984)^2 * 0,0081 + (1 - 0,9984)^2 * 0,00729 + (2 - 0,9984)^2 * 0,03087 + (3 - 0,9984)^2 * 0,2058 ≈ 0,55488.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна приблизительно 0,55488.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас еще возникнут вопросы, пожалуйста, задавайте их!