1. Вершины пирамиды находятся в точках A (-9, -7,4), B (-4,3, -1), C (5, -4,2), D (3,4,4).
Вычислить объем пирамиды ABCD.
2. Составить уравнение прямой CM, параллельной прямой AB, если:
A (5,5,4), B (1, -1,4), C (3,5,1).
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (8,5,4)
параллельно плоскости 4х - 2y - 3z + 2 = 0.
ПОСЛЕДНИЕ
Для начала, найдем векторы AB, AC и AD.
AB = B - A = (-4,3,-1) - (-9,-7,4) = (5,10,-5)
AC = C - A = (5,-4,2) - (-9,-7,4) = (14,-3,-2)
AD = D - A = (3,4,4) - (-9,-7,4) = (12,11,0)
Затем, мы используем эти векторы для нахождения площади основания пирамиды через произведение смешанных произведений векторов.
Площадь основания (S) равна половине модуля смешанного произведения векторов AB, AC и AD:
S = 1/2 * |(AB × AC) · AD|
Сначала найдем векторное произведение AB × AC:
AB × AC = (5,10,-5) × (14,-3,-2)
Для нахождения векторного произведения AB × AC, можем использовать следующее правило:
(i)×(j) = (i2j3 − i3j2, i3j1 − i1j3, i1j2 − i2j1)
Используя это правило, мы получаем:
AB × AC = (10*(-2) - (-5)*(-3), -5*14 - 5*(-2), 5*(-3) - 10*14)
= (-20 + 15, -70 + 10, -15 - 140)
= (-5, -60, -155)
Теперь найдем произведение смешанных произведений (AB × AC) · AD:
(AB × AC) · AD = (-5, -60, -155) · (12, 11, 0)
Для нахождения произведения смешанных произведений (AB × AC) · AD, мы умножаем соответствующие координаты и складываем результаты:
(-5, -60, -155) · (12, 11, 0) = (-5*12) + (-60*11) + (-155*0)
= -60 + (-660) + 0
= -720
Теперь можем найти площадь основания пирамиды:
S = 1/2 * |-720|
= 1/2 * 720
= 360
Теперь осталось найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся формулой объема пирамиды:
V = 1/3 * S * h
Где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.
Мы знаем, что V = 360, S = 360, поэтому можем найти высоту пирамиды:
360 = 1/3 * 360 * h
Упрощаем выражение, деля обе части на 1/3 * 360:
1 = h
Таким образом, высота пирамиды равна 1.
Ответ: объем пирамиды ABCD равен 360 единиц кубических.
2. Для составления уравнения прямой CM, параллельной прямой AB, мы можем использовать точку C и направляющий вектор AB (поскольку прямые, параллельные, имеют одинаковый направляющий вектор).
Направляющий вектор AB = B - A = (1,-1,4) - (5,5,4) = (-4,-6,0)
Теперь у нас есть точка C (3,5,1) и направляющий вектор (-4,-6,0). Подставляя эти значения в уравнение прямой в параметрической форме, получим:
x = 3 - 4t
y = 5 - 6t
z = 1
где t - параметр.
Таким образом, уравнение прямой CM, параллельной прямой AB, будет:
x = 3 - 4t
y = 5 - 6t
z = 1
3. Задача состоит в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку A и параллельной плоскости 4x - 2y - 3z + 2 = 0.
Используя метод, связанный с параллельными плоскостями, мы знаем, что нормальный вектор новой плоскости будет такой же, как у текущей плоскости 4x - 2y - 3z + 2 = 0.
Нормальный вектор текущей плоскости = (4,-2,-3)
То есть, нормальный вектор новой плоскости будет равен (4,-2,-3).
Теперь, используя координаты точки A (8,5,4) и нормальный вектор (4,-2,-3), мы можем подставить эти значения в уравнение плоскости в общей форме:
4(x - 8) - 2(y - 5) - 3(z - 4) = 0
Упрощаем выражение:
4x - 32 - 2y + 10 - 3z + 12 = 0
4x - 2y - 3z - 10 = 0
Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точку A (8,5,4) и параллельной плоскости 4x - 2y - 3z + 2 = 0, будет 4x - 2y - 3z - 10 = 0.