Требуется усмирить Кота Баюна. Вероятности того, что Кот Баюн будет усмирен с оловянного, медного или железного прута суть соответственно р1=0,1,р2=0,2,р3 =0,7. Андрей-стрелок берет первый попавшийся прут из имеющихся у него трех оловянных, двух медных и двух железных и усмиряет Кота. Какова апостериорная вероятность того, что Андрей-стрелок взял железный прут?
Пусть событие А - Андрей-стрелок взял железный прут, а событие B - Кот Баюн был усмирен.
Мы знаем, что вероятности выбора каждого типа прута составляют:
P(выбрать оловянный прут) = 3/7,
P(выбрать медный прут) = 2/7,
P(выбрать железный прут) = 2/7.
Также нам дано, что вероятности усмирения Кота Баюна при использовании каждого типа прута составляют:
P(усмирение с оловянным прутом) = 0.1,
P(усмирение с медным прутом) = 0.2,
P(усмирение с железным прутом) = 0.7.
Мы хотим найти апостериорную вероятность P(A|B) - вероятность того, что Андрей-стрелок взял железный прут, при условии, что Кот Баюн был усмирен.
Используя формулу Байеса, мы можем записать:
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B),
где P(B|A) - вероятность усмирения Кота Баюна при использовании железного прута, P(A) - вероятность выбора железного прута, P(B) - вероятность усмирения Кота Баюна.
Согласно формуле Байеса, мы уже знаем P(B|A) = 0.7, P(A) = 2/7.
Теперь нам нужно найти P(B) - вероятность усмирения Кота Баюна.
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|C) * P(C) + P(B|D) * P(D),
где P(B|C) - вероятность усмирения Кота Баюна при использовании медного прута, P(C) - вероятность выбора медного прута, P(B|D) - вероятность усмирения Кота Баюна при использовании оловянного прута, P(D) - вероятность выбора оловянного прута.
Мы также знаем, что P(B|C) = 0.2, P(C) = 2/7, P(B|D) = 0.1, P(D) = 3/7.
Теперь мы можем вычислить P(B):
P(B) = 0.7 * (2/7) + 0.2 * (2/7) + 0.1 * (3/7) = 0.1 + 0.057 + 0.043 ≈ 0.2.
Теперь мы можем подставить все значения в формулу Байеса:
P(A|B) = (0.7 * (2/7)) / 0.2 ≈ 0.7 / 0.2 = 3.5.
Таким образом, апостериорная вероятность того, что Андрей-стрелок взял железный прут, составляет примерно 3.5 или 350%.
Однако вероятность не может быть больше 100%, поэтому вероятность выбора железного прута будет 1 или 100%.
Другими словами, после усмирения Кота Баюна вероятность того, что Андрей-стрелок взял железный прут, равна 1 (или 100%).
Это происходит потому, что вероятность усмирения Кота Баюна с железным прутом самая высокая (0,7), и вероятность выбора железного прута самая высокая из всех типов прутов (2/7).