Приветствую! Я рад быть твоим виртуальным учителем и помочь тебе с этим вопросом.
Чтобы решить данное неравенство, мы будем использовать метод понижения степени. Но перед тем, как начать, давай рассмотрим, что означает и что мы знаем о функции косинуса.
Функция косинуса (cos(x)) - это математическая функция, которая вычисляет отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где x - это угол (в радианах). Результаты функции косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1.
Теперь перейдем к решению неравенства cos²x ≥ 0.5.
Шаг 1: Найди значения x, при которых cos²x = 0.5.
Мы знаем, что cos²x ≥ 0.5, поэтому нам нужно найти, при каких значениях x это неравенство становится равенством.
Используя тригонометрическую идентичность cos²x = (1/2)(1 + cos(2x)), мы можем получить следующее:
(1/2)(1 + cos(2x)) = 0.5.
Упростив это уравнение, получаем:
1 + cos(2x) = 1.
Вычтем 1 с обеих сторон:
cos(2x) = 0.
Теперь, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют cos(2x) = 0, мы решим уравнение cos(2x) = 0.
Шаг 2: Решите уравнение cos(2x) = 0.
Мы знаем, что функция косинуса равна 0 при π/2 + πn, где n - целое число.
2x = π/2 + πn.
x = (π/2 + πn)/2.
x = π/4 + (π/2)n.
Таким образом, у нас есть бесконечное количество значений x, которые удовлетворяют cos²x = 0.5. Эти значения могут быть записаны в виде x = π/4 + (π/2)n, где n - целое число.
Шаг 3: Определите интервалы, в которых cos²x ≥ 0.5.
Теперь определим, в каких интервалах неравенство cos²x ≥ 0.5 истинно. Для этого мы рассмотрим значения x внутри каждого интервала (π/4 + (π/2)n).
Итак, если мы возьмем любое значение x в интервале (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число, то неравенство cos²x ≥ 0.5 будет выполняться.
Например, возьмем первый интервал, где n = 0:
x ∈ (π/4, π/4 + π/2).
Если мы возьмем x = π/3 в этом интервале, тогда cos²(π/3) = 0.75, что больше 0.5. То есть неравенство cos²x ≥ 0.5 выполняется в этом интервале.
Подобным образом неравенство cos²x ≥ 0.5 выполняется и в других интервалах (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число.
Итак, чтобы решить данное неравенство, ты можешь записать ответ в виде x ∈ (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число. Это означает, что x принимает значения внутри этих интервалов, где cos²x ≥ 0.5.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло тебе понять решение данного неравенства! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их. Удачи с учебой!
Чтобы решить данное неравенство, мы будем использовать метод понижения степени. Но перед тем, как начать, давай рассмотрим, что означает и что мы знаем о функции косинуса.
Функция косинуса (cos(x)) - это математическая функция, которая вычисляет отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, где x - это угол (в радианах). Результаты функции косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1.
Теперь перейдем к решению неравенства cos²x ≥ 0.5.
Шаг 1: Найди значения x, при которых cos²x = 0.5.
Мы знаем, что cos²x ≥ 0.5, поэтому нам нужно найти, при каких значениях x это неравенство становится равенством.
Используя тригонометрическую идентичность cos²x = (1/2)(1 + cos(2x)), мы можем получить следующее:
(1/2)(1 + cos(2x)) = 0.5.
Упростив это уравнение, получаем:
1 + cos(2x) = 1.
Вычтем 1 с обеих сторон:
cos(2x) = 0.
Теперь, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют cos(2x) = 0, мы решим уравнение cos(2x) = 0.
Шаг 2: Решите уравнение cos(2x) = 0.
Мы знаем, что функция косинуса равна 0 при π/2 + πn, где n - целое число.
2x = π/2 + πn.
x = (π/2 + πn)/2.
x = π/4 + (π/2)n.
Таким образом, у нас есть бесконечное количество значений x, которые удовлетворяют cos²x = 0.5. Эти значения могут быть записаны в виде x = π/4 + (π/2)n, где n - целое число.
Шаг 3: Определите интервалы, в которых cos²x ≥ 0.5.
Теперь определим, в каких интервалах неравенство cos²x ≥ 0.5 истинно. Для этого мы рассмотрим значения x внутри каждого интервала (π/4 + (π/2)n).
Итак, если мы возьмем любое значение x в интервале (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число, то неравенство cos²x ≥ 0.5 будет выполняться.
Например, возьмем первый интервал, где n = 0:
x ∈ (π/4, π/4 + π/2).
Если мы возьмем x = π/3 в этом интервале, тогда cos²(π/3) = 0.75, что больше 0.5. То есть неравенство cos²x ≥ 0.5 выполняется в этом интервале.
Подобным образом неравенство cos²x ≥ 0.5 выполняется и в других интервалах (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число.
Итак, чтобы решить данное неравенство, ты можешь записать ответ в виде x ∈ (π/4 + (π/2)n, π/4 + (π/2)(n+1)), где n - целое число. Это означает, что x принимает значения внутри этих интервалов, где cos²x ≥ 0.5.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло тебе понять решение данного неравенства! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их. Удачи с учебой!