Question

Найдите частные решения дифференциальных уравнений.​

Answer 1

$3)(1 + x)dy = - (1 - y)dx \\ (1 + x)dy = (y - 1)dx \\ \int\limits \frac{dy}{y - 1} = \int\limits \frac{dx}{1 + x} \\ \int\limits \frac{d(y - 1)}{y - 1} = \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} \\ ln( y - 1) = ln(x + 1) + ln(C) \\ y - 1 = C(x + 1)$

общее решение

$y(1) = 3$

$3 - 1 = C(1 + 1) \\ C = \frac{2}{2} = 1$

$y - 1 = x + 1 \\ y = x + 2$

частное решение

$4) y\sin(x) dx = - \cos(x) dy \\ \int\limits \frac{dy}{y} = - \int\limits \frac{ \sin(x)dx }{ \cos(x) } \\ ln(y) = \int\limits \frac{d( \cos(x)) }{ \cos(x) } \\ ln(y) = ln( \cos(x) ) + ln(C) \\ y = C \cos(x)$

общее решение

$y( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = C \cos( \frac{\pi}{3} ) \\ C \times \frac{1 }{2} = \frac{1}{2} \\ C= 1$

$y = \cos(x)$

частное решение