Question

Даны точки A(2;−1;2),B(3;−5;−2),C(5;α;β). При каких значениях α и β точка C лежит на прямой AB? В ответе записать сумму α+β.

Answer 1

Для того чтобы точка C лежала на прямой AB, вектор AC должен быть коллинеарен вектору AB. Коллинеарность означает, что векторы должны иметь одинаковое направление или быть противоположно направленными.

1. Найдем вектор AB. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки B:
AB = (3 - 2, -5 - (-1), -2 - 2) = (1, -4, -4).

2. Теперь найдем вектор AC. Вычтем координаты точки A из координат точки C:
AC = (5 - 2, α - (-1), β - 2) = (3, α + 1, β - 2).

3. Если векторы AB и AC коллинеарны, то их координаты должны удовлетворять пропорции. Будем использовать координаты векторов AB и AC в виде отношения a/b=c/d. Распишем эту пропорцию для каждой координаты:
1 / 3 = -4 / (α + 1) = -4 / (β - 2).

4. Составим систему уравнений из пропорций:
1 / 3 = -4 / (α + 1),
1 / 3 = -4 / (β - 2).

5. Решим систему уравнений:
Для первого уравнения:
1(α + 1) = -4(3),
α + 1 = -12,
α = -13.

Для второго уравнения:
1(β - 2) = -4(3),
β - 2 = -12,
β = -10.

6. Найдем сумму α + β:
α + β = -13 + (-10) = -23.

Итак, точка C будет лежать на прямой AB, если значения α = -13 и β = -10. Сумма α + β будет равна -23.