известно что в геометрической прогрессии разность четвертого и второго членов равна 24 , а сумма второго и третьего членов равна 6 . Найдите первый член данной прогрессии и знаменатель
Давайте начнем с заданного вопроса и найдем первый член данной геометрической прогрессии (P) и её знаменатель (q).
У нас дано, что разность между четвертым и вторым членами прогрессии равна 24. Это означает, что:
q^4 - q^2 = 24
Также нам дано, что сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Мы можем записать это так:
q^2 + q^3 = 6
Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Для этого давайте приведем первое уравнение к виду, в котором мы сможем выразить q^2:
q^4 - q^2 - 24 = 0
Чтобы решить эту квадратную уравнение относительно q^2, мы можем ввести новую переменную x = q^2. Тогда мы получим:
x^2 - x - 24 = 0
Теперь нам нужно найти значения x, для этого мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня (формула):
(x - 4)(x + 6) = 0
Таким образом, у нас есть два возможных значения для x: x = 4 и x = -6. Но поскольку знаменатель не может быть отрицательным (так как это геометрическая прогрессия), мы должны выбрать только положительное значение x = 4.
Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти значение q, взяв квадратный корень из x:
q = √(x) = √(4) = 2
Итак, знаменатель нашей геометрической прогрессии - это 2.
Чтобы найти первый член прогрессии (P), мы можем использовать второе уравнение:
q^2 + q^3 = 6
Подставим значение q = 2:
2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12
Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равен 12.
В заключение, первый член геометрической прогрессии равен 12, а знаменатель равен 2.
Давайте начнем с заданного вопроса и найдем первый член данной геометрической прогрессии (P) и её знаменатель (q).
У нас дано, что разность между четвертым и вторым членами прогрессии равна 24. Это означает, что:
q^4 - q^2 = 24
Также нам дано, что сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Мы можем записать это так:
q^2 + q^3 = 6
Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Для этого давайте приведем первое уравнение к виду, в котором мы сможем выразить q^2:
q^4 - q^2 - 24 = 0
Чтобы решить эту квадратную уравнение относительно q^2, мы можем ввести новую переменную x = q^2. Тогда мы получим:
x^2 - x - 24 = 0
Теперь нам нужно найти значения x, для этого мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратного корня (формула):
(x - 4)(x + 6) = 0
Таким образом, у нас есть два возможных значения для x: x = 4 и x = -6. Но поскольку знаменатель не может быть отрицательным (так как это геометрическая прогрессия), мы должны выбрать только положительное значение x = 4.
Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти значение q, взяв квадратный корень из x:
q = √(x) = √(4) = 2
Итак, знаменатель нашей геометрической прогрессии - это 2.
Чтобы найти первый член прогрессии (P), мы можем использовать второе уравнение:
q^2 + q^3 = 6
Подставим значение q = 2:
2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12
Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равен 12.
В заключение, первый член геометрической прогрессии равен 12, а знаменатель равен 2.