Берёшь число к примеру 66. Начинаешь его делить к примеру на 3. Вот ты пишешь 66:3=22 Как это получилось. Берёшь первую цифру из числа, у нас это 6 и смотришь, если цифра которую мы делим на другое число(это у нас 3) если 6>3, значит у нас будет 2 числа в ответе. 6 делится на 3. Получается 2-это первая цифра из будущего ответа.Потом у нас следующая цифра из нашего числа(66) тоже 6. Проделываем тоже самое. Делим 6 на 3 и получаем 2-это вторая цифра из нашего ответа. В итоге: первая цифра ответа-2 и вторая тоже 2 . Присоединяем их и получаем 22(2_2 присоединяем и получаем 22).
Предположим что данная дробь является конечной ,тогда тк любое конечное положительное рациональное число рациональное число представимо в виде выражения: N/10^k тогда верно что: n/2n^2+1=N/10^k n*10^k/2n^2 +1=N число n не имеет с числом 2n^2+1 общих простых делителей. Действительно тк число 2n^2 cодержит в себе все простые делители числа n,то число 2n^2+1 не содержит всех этих делителей,тк это число будет давать на все эти делители остаток 1,тк 1-это наименьшее число из всех простых делителей.Число 10^k содержит делители 2^m и 5^p p,m-натуральные числа (p<=k m<=k) делитель 2^m четный ,а число 2n^2+1 всегда нечетно ,то делитель 2^m у них быть общим не может.Если у числа 2n^2+1 есть общий делитель 5^p,то оно либо оканчивается на цифру 0 или цифру 5.Проанализируем все варианты: число n может кончаться на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 тогда число 2n^2+1 может оканчиваться на цифры 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть это число не может иметь делитель 5^p. Таким образом числитель и знаменатель дроби n*10^k/2n^2+1 не имеют общих делителей,тогда эта дробь несократима,а тк из равенства n*10^k/2n^2+1=N то несократимая дробь равна натуральному числу,а такое невозможно,то есть мы пришли к противоречию,значит эта дробь бесконечно периодическая при любом n.Теперь самое трудное.Необходимо доказать,что эта дробь чисто периодическая (без примесей) Любое чисто периодическое число меньшее 1 (как и наше при любом n) представимо в виде: N/(10^k -1) где k-длинна его периода N cам этот период без нулей в начале,если таковые присутствуют.(Надеюсь понятно) Положим теперь что наша дробь смешанная ,тогда верно что n/2n^2+1=N/10^s +M
предлог "к"