Исследовать функцию f (x) = -x⁴+4х² и построить ее график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = -x⁴+4х² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = (–x)⁴+4(–x)² = х⁴+4x² = f(x) и f(–x) = (–x)⁴+4–x)² = (x4+4x²) ≠ –f(x)
Функция является четной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, -x⁴+4x²=0, -x²(x²–4)=0 ⇒ x=0, x=+-2. Значит (0;0), (-2;0) и (2;0)- точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒ -4x³+8x =0 ⇒ -4x(x²–2) = 0 ⇒ x = 0, x = √2, х = -√2 критические точки.
Промежутки монотонности, где функция возрастает или убывает, показаны в таблице стрелками. Экстремумы функции занесены в таблицу.
х = -1.5 -1.41 -1 -0.5 0 0.5 1 1.41 1.5
y '=-4x³+8x 1.5 0 -4 -3.5 0 3.5 4 0 -1.5
В точках х = -√2 и х = √2 производная меняет знак с + на - это максимум,
в точке х = 0 производная меняет знак с - на + это минимум.
7.
Вычисление второй производной: y''=0, -12x²+8 = 0,-4(3x²-2) = 0.
x= -1.5 -0.8165 -1 1 0.816497 1.5
y''=-12x²+8 -19 0 -4 -4 0 -19
Отсюда имеем 2 точки перегиба:
х₁ = √(2/3),
х₂ = -√(2/3).
8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Направление выпуклости графика и точки перегиба занесены в таблицу.
x= -1 -0.817 -0.5 0.5 0.817 1
y''=-12x²+8 -4 0 5 5 0 -4.
Функция вогнутая на промежутках
[-sqrt(2/3), sqrt(2/3)]
Выпуклая на промежутках
(-oo, -sqrt(2/3)] U [sqrt(2/3), oo)
9. График функции приведен в приложении.
Подробнее - на -
а) 0,7178
б) -109,62630087
в) 12 599,7
г) 10
Пошаговое объяснение:
а) 74 : 100 - 0,4 : 10 + 17,8 : 1000 = 0,74 - 0,04 + 0,0178 =
0,7 + 0,0178 = 0,7178
б) 0,35 - 10 + 0,0237 - 100 - 0,00087 : 1000 =
- 9,65 + 0,0237 - 100 - 0,00000087 = -9,6263 - 100 - 0,00000087 =
-109,6263 - 0,00000087 = -109,62630087
в) 37 : 0,01 - 0,2 - 0,1 + 8,9 : 0,001 = 3700 - 0,2 - 0,1 + 8,9 : 0,001 =
3699,8 - 0,1 + 8900 = 3699,7 + 8900 = 12 599,7
г) 0,7 : 0,1 + 0,0474 : 0,01 – 0,00174 : 0,001 = 7 + 4,74 - 1,74 = 10
Пошаговое объяснение: