1. Область площадью 2 км2 подвергается обстрелу, причем вероятность попадания снаряда в некоторую подобласть пропорциональна ее площади. Внутри
обстреливаемой области находится завод площадью 1 га. Определить вероятность
попадания в завод не менее четырех снарядов, если известно, что произведено всего
500 выстрелов
Для начала, посчитаем вероятность попадания снаряда в завод при одном выстреле.
Пусть A - событие попадания снаряда в завод, тогда P(A) - вероятность попадания снаряда в завод.
Поскольку вероятность попадания снаряда в некоторую подобласть пропорциональна ее площади, то можно предположить, что вероятность попадания снаряда в завод равна отношению площади завода к площади обстреливаемой области.
Площадь завода равна 1 га, что составляет 10000 м2 (1 га = 10000 м2).
Общая площадь обстреливаемой области равна 2 км2, что составляет 2000000 м2 (1 км2 = 1000000 м2).
Таким образом, P(A) = 10000/2000000 = 0.005 = 0.5%.
Теперь мы знаем вероятность попадания снаряда в завод при одном выстреле.
Следующий шаг - вычислить вероятность попадания в завод не менее четырех снарядов при 500 выстрелах.
Пусть X - случайная величина, равная количеству попаданий снарядов в завод.
Задача состоит в вычислении P(X ≥ 4), то есть вероятности того, что X будет равно 4, 5, 6, и так далее, вплоть до 500.
Формулу для вычисления этой вероятности можно получить, используя биномиальное распределение.
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + ... + P(X = 500).
P(X = k) = C(500, k) * (P(A))^k * (1 - P(A))^(500 - k),
где C(500, k) - количество сочетаний из 500 по k, P(A) - вероятность попадания снаряда в завод при одном выстреле.
Таким образом, для каждого k от 4 до 500 мы можем вычислить P(X = k) и суммировать их, чтобы получить P(X ≥ 4).
Однако, для выполнения данного подсчета потребуется значительное количество вычислений и времени.
Другим путем решения данной задачи является использование биномиальной аппроксимации с помощью нормального распределения.
Согласно правилу трех сигм, мы можем приближенно считать, что при достаточно большом количестве наблюдений и небольшом значении вероятности P(A), значение случайной величины X будет приближенно нормально распределено с параметрами mu = n * P(A) и sigma = sqrt(n * P(A) * (1 - P(A))).
В данной задаче P(A) = 0.005, а n = 500.
Таким образом, мы можем использовать нормальное распределение с mu = 500 * 0.005 = 2.5 и sigma = sqrt(500 * 0.005 * (1 - 0.005)) = 1.57.
Теперь мы можем использовать таблицу нормального распределения или калькулятор с функцией нормального распределения для вычисления P(X ≥ 4).
Округлив до двух знаков после запятой, мы получаем:
P(X ≥ 4) ≈ 1 - P(X ≤ 3) ≈ 1 - P((X - mu)/sigma ≤ (3 - mu)/sigma) ≈ 1 - P(Z ≤ (3 - 2.5)/1.57) ≈ 1 - P(Z ≤ 0.32) ≈ 1 - 0.6255 ≈ 0.3745.
Таким образом, вероятность попадания в завод не менее четырех снарядов составляет приблизительно 0.3745 или около 37.45%.
Обратите внимание, что данное решение использует некоторые приближения и предположения, и вычисленная вероятность может отличаться от точного значения.