Question

Случайная величина X имеет второй начальный момент равный 10 и математическое ожидание равное 2. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Answer 1

Для того чтобы найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X, нам понадобится использовать формулу:

σ = √(E[(X - μ)²])

где σ обозначает среднее квадратическое отклонение, E обозначает математическое ожидание, X - случайную величину, а μ - среднее значение случайной величины.

Исходя из данной задачи, мы уже знаем, что математическое ожидание E[X] равно 2. Это означает, что среднее значение случайной величины X равно 2:

μ = 2

Также помним, что второй начальный момент случайной величины равен 10:

E[(X - μ)²] = 10

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

σ = √(E[(X - 2)²])

Чтобы продолжить, нам понадобится раскрыть скобки внутри ожидания:

σ = √(E[X² - 4X + 4])

Здесь мы используем свойство линейности математического ожидания:

E[X² - 4X + 4] = E[X²] - 4E[X] + E[4]

Так как E[4] - это просто константа, то мы можем ее вынести за пределы ожидания:

E[X² - 4X + 4] = E[X²] - 4E[X] + 4

Теперь обратимся к исходной задаче. Нам нужно найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X, поэтому нам нужно найти значение σ, а для этого нам нужно найти E[X²]. Пока осталось только найти E[X²]:

E[(X - 2)²] = E[X²] - 4E[X] + 4

У нас уже есть два значения: E[X] равно 2 и E[(X - 2)²] равно 10. Подставим эти значения в уравнение:

10 = E[X²] - 4*2 + 4

10 = E[X²] - 8 + 4

10 = E[X²] - 4

Перенесем -4 на другую сторону:

E[X²] = 10 + 4

E[X²] = 14

Таким образом, мы нашли значение E[X²]: E[X²] равно 14.

Теперь мы можем продолжить расчет среднего квадратического отклонения:

σ = √(E[X²] - (4E[X] - 4))

Подставим найденное значение E[X²] и значение E[X]:

σ = √(14 - (4*2 - 4))

σ = √(14 - 4)

σ = √10

Таким образом, среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно √10 или примерно 3.162.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно √10 или примерно 3.162.