Question

Вравнобокой тарпеции средняя линия равна m,а диагонали взаимноперпендикулярны.вычислить площадь трапеции.

Answer 1

На данном во вложении рисунке - равнобокая трапеция АВСD, диагонали АС и DB взаимно перпендикулярны.
Из вершины С трапеции параллельно ВD проведем прямую до пересечения с продолжением АD.

Рассмотрим четырехугольник ВСМD.

Это - параллелограмм, т.к. АМ||BC, BD||CM.
Следовательно, ВС=DM, и тогда АМ равна сумме оснований.
Треугольник АСМ - прямоугольный ( СМ||BD) и равнобедренный, так как диагонали равнобокой трапеции равны.
Опустив из С высоту на АD, получим равнобедренный прямоугольный треугольник АСН, в котором СН=АН. Но АН=НМ, так как высота равнобедренного треугольника делит основание на две равные части.
В то же время АМ - сумма длин оснований, и АН - полусумма оснований.
Мы доказали, что высота данной равнобокой трапеции равна полусумме оснований, и это утверждение верно для любой равнобокой трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны .

То, что в записи заключено между горизонатльными линиями, дано для понимания решения задачи.

В равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна полусумме оснований=ее средней линии. 
И, следовательно, площадь такой трапении равна квадрату ее средней линии

h=m
S ABCD= mh=m²

Answer 2

Т к диагонали трапеции перпендикулярны, Sтрапеции=(а+b)в квадрате/4 или h в квадрате; где а и b -основания, а h-высота. Воспользуемся первой формулой. Для этого нужно найти сумму длин оснований трапеции:

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований трапеции. Значит сумма длин оснований равна m*2

Sтрапеции=2*m в квадрате/4=4*m в квадрате/4= m в квадрате