Question

Найти неопределенные интегралы

Answer 1

1.

$\int\limits \frac{ {x}^{2}dx }{1 + {x}^{6} } = \frac{1}{3} \int\limits \frac{ 3{x}^{2}dx }{1 + {x}^{6} } = \\ = \frac{1}{3} \int\limits \frac{d( {x}^{3}) }{1 + {( {x}^{3}) }^{2} } = \frac{1}{3} arctg( {x}^{3} ) + C$

2.

$\int\limits \: x \sin(1 - {x}^{2} ) dx = \\ = - \int\limits \: ( - x) \sin(1 - {x}^{2} ) d( x) = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits( - 2x) \sin(1 - {x}^{2} ) dx = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits \sin(1 - {x}^{2} ) d(1 - {x}^{2} ) = \\ = \frac{1}{2} \cos(1 - {x}^{2} ) + C$

3.

$\int\limits2x {e}^{3x} dx \\$

По частям:

$U = 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= 2dx \\ dV = {e}^{3x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{3} \int\limits {e}^{3x} d(3x) = \frac{1}{3} {e}^{3x}$

$UV - \int\limits \: VdU = \\ = \frac{2x}{3} {e}^{3x} - \int\limits2 \times \frac{1}{3} {e}^{3x} dx = \\ = \frac{2x}{3} {e}^{3x} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \int\limits {e}^{3x} d(3x) = \\ = \frac{2x}{3} {e}^{3x} - \frac{2}{9} {e}^{3x} + C$