Question

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1В1С1D1
C1 B1= 6 корень из 3 , С1 D =10 , косинус угла ∠C1DC
равен 0,6. Найдите BD.

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о теореме косинусов и свойствах прямоугольного параллелепипеда.

1. Пусть точка O - центр основания A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда. От точки O проведем высоту OH на грань B1C1D1. Так как C1D1 - одна из рёбер параллелепипеда, а OH - высота, то треугольник C1DH - прямоугольный.

2. По свойствам прямоугольного параллелепипеда CD ⊥ C1D и DH ⊥ BD.

3. Обозначим угол ∠C1DC = α и найдем синус этого угла. Синус угла можно найти по формуле sin(α) = √(1 - cos^2(α)). В данном случае синус известного нам угла будет равен sin(α) = √(1 - 0,6^2) = √(1 - 0,36) = √0,64 = 0,8.

4. Так как треугольник CDH прямоугольный, то sin(α) = DH / CD. Подставим известные значения: 0,8 = DH / 10. Решим это уравнение относительно DH: DH = 0,8 * 10 = 8.

5. Треугольник BDH также прямоугольный, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны BD. Согласно теореме Пифагора: BD^2 = BH^2 + DH^2.

6. Найдем BH. По теореме Пифагора для треугольника B1HC1 получаем: BH^2 = B1C1^2 - HC1^2 = (6√3)^2 - (DH)^2 = 108 - 8^2 = 108 - 64 = 44. Таким образом, BH = √44 = 2√11.

7. Теперь можем применить теорему Пифагора для треугольника BDH: BD^2 = BH^2 + DH^2 = (2√11)^2 + 8^2 = 44 + 64 = 108. Таким образом, BD = √108 = 6√3.

Таким образом, длина стороны BD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 6√3.