Question

ЗНАТОКИ ! Заданы разложения векторов p = −18a − 14b + 3c, q = −4a − 2b + 4c, r = −9a − 2b + 6c, где a, b, c - взаимно перпендикулярные орты, образующие левую тройку. Найти вектор ортогональной проекции вектора p на ось, заданную вектором q.​

Answer 1

Добро пожаловать на урок, ученик!

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения ортогональной проекции вектора на другой вектор.

Формула для ортогональной проекции вектора p на ось, заданную вектором q, выглядит следующим образом:

proj_q p = (p * q) / ||q||^2 * q

где p * q - скалярное произведение векторов p и q,
||q|| - длина вектора q.

Давайте сначала найдем скалярное произведение векторов p и q:

p * q = (−18a − 14b + 3c) * (−4a − 2b + 4c)
= (-18)*(-4)*(a*a) + (-18)*(-2)*(a*b) + (-18)*(4)*(a*c) + (-14)*(-4)*(b*a) + (-14)*(-2)*(b*b) + (-14)*(4)*(b*c) + 3*(-4)*(c*a) + 3*(-2)*(c*b) + 3*(4)*(c*c)
= 72a^2 + 36ab - 72ac + 56ba + 28b^2 - 56bc - 12ca - 6cb + 12c^2

Теперь найдем длину вектора q:

||q|| = sqrt((-4a)^2 + (-2b)^2 + (4c)^2)
= sqrt(16a^2 + 4b^2 + 16c^2)
= sqrt(16(a^2 + b^2 + c^2))
= 4sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Далее, мы можем подставить найденные значения в формулу ортогональной проекции и получить ответ:

proj_q p = ((72a^2 + 36ab - 72ac + 56ba + 28b^2 - 56bc - 12ca - 6cb + 12c^2) / (4(a^2 + b^2 + c^2))) * (-4a - 2b + 4c)

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, выполним умножение и сокращение:

proj_q p = (-72a^3 - 36a^2b + 72a^2c - 56ab^2 - 28b^3 + 56b^2c + 12ac^2 + 6bc^2 - 12c^3) / (a^2 + b^2 + c^2)

Итак, вектор ортогональной проекции вектора p на ось, заданную вектором q, равен:

proj_q p = (-72a^3 - 36a^2b + 72a^2c - 56ab^2 - 28b^3 + 56b^2c + 12ac^2 + 6bc^2 - 12c^3) / (a^2 + b^2 + c^2)

Надеюсь, ответ ясен и понятен! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их. Удачи в учебе!