Question

Найти производную функцию y=√4+x^2/24x^3​

Answer 1

y = sqrt(4)+x^2/24x^3 = sqrt(4) + 1/24x

y' = -1/24x^2

Answer 2

Для нахождения производной данной функции y=√(4+x^2)/24x^3, мы будем использовать правило дифференцирования для функции, состоящей из нескольких элементарных функций.

Шаг 1: Разложение функции
На первом шаге разложим данную функцию на элементарные функции, чтобы легче применить правило дифференцирования. Применяя законы алгебры, мы можем раскрыть квадратный корень и запишем функцию следующим образом:

y = (4 + x^2)^(1/2) / (24x^3)

Шаг 2: Определение составляющих функции
Обратим внимание на то, что данная функция представляет собой отношение двух функций: (4 + x^2)^(1/2) - числитель, и 24x^3 - знаменатель. Поэтому, мы можем рассмотреть каждую из них отдельно и найти их производные.

Шаг 3: Нахождение производной числителя
Для нахождения производной числителя (то есть (4 + x^2)^(1/2)), мы будем использовать цепное правило дифференцирования. По цепному правилу получаем:

d/dx (4 + x^2)^(1/2) = (1/2)(4 + x^2)^(-1/2) * d/dx (4 + x^2)

Далее, найдем производную функции 4+x^2 по отдельности:

d/dx (4 + x^2) = d/dx (4) + d/dx (x^2) = 0 + 2x = 2x

Подставляем это значение обратно в цепное правило:

d/dx (4 + x^2)^(1/2) = (1/2)(4 + x^2)^(-1/2) * 2x

Шаг 4: Нахождение производной знаменателя
Для нахождения производной знаменателя 24x^3, мы будем использовать правило дифференцирования для степенной функции, а именно:

d/dx (x^n) = nx^(n-1)

Применяем это правило к нашей функции:

d/dx (24x^3) = 24 * d/dx (x^3) = 24 * 3x^2 = 72x^2

Шаг 5: Нахождение производной функции
Теперь, когда мы нашли производные числителя и знаменателя, мы можем рассчитать производную исходной функции, используя правило дифференцирования для отношения функций:

d/dx (y) = (d/dx (числитель) * знаменатель - числитель * d/dx (знаменатель)) / знаменатель^2

Подставляем найденные значения:

d/dx (y) = ((1/2)(4 + x^2)^(-1/2) * 2x * (24x^3) - (4 + x^2)^(1/2) * 72x^2) / ((24x^3)^2)

Сокращаем доступные значения и упрощаем выражение:

d/dx (y) = (x(4 + x^2)^(-1/2) * 24x^3 - 72x^2(4 + x^2)^(1/2)) / (24^2 * x^6)

Мы получили производную функции y=√(4+x^2)/24x^3. Если у вас есть какие-либо вопросы по кому-либо из шагов, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.