Question

Дано точки А1(х1,у1,z1),A2(x2;y2;z2),A3(x3,y3,z3),A4(x4,y4,z4),A5(x5,y5,z5). Де А1(0,0,-2);А2(2,1,0);А3(-2,0,-2);А4(0,1,0);А5(0,2,2).
Нада :
1) рівняння площини (А1А2А3).
2)рівняння площини,що проходить через точку А1 перпендикулярно прямій (А2,А3)
3) рівняння площини,що проходить через точку А5,та паралельна до площини (А1А2А3);
4) відстань від точки А3 до площини (А1А2А3);
5)рівняння прямої (А1,А4);
6) рівняння прямої,що проходить через точку А4 перпендикулярно до площини (А1А2А3);
7) рівняння прямої,що проходить через точку А5 паралельно прямій (А1А4).​

Answer 1

Даны координаты пирамиды: A1(6,8,2), A2(5,4,7), A3(2,4,7), A4(7,3,7).

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора A1A2

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 5-6; Y = 4-8; Z = 7-2

A1A2(-1;-4;5)

A1A3(-4;-4;5)

A1A4(1;-5;5)

A2A3(-3;0;0)

A2A4(2;-1;0)

A3A4(5;-1;0)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Нахождение длин ребер и координат векторов.

Вектор А1A2={xB-xA, yB-yA, zB-zA} -1 -4 5 L = 6,480740698.

Вектор A2A3={xC-xB, yC-yB, zC-zB} -3 0 0 L =3.

Вектор А1A3={xC-xA, yC-yA, zC-zA} -4 -4 5 L = 7,549834435.

Вектор А1A4={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 1 -5 5 L =7,141428429.

Вектор A2A4={xD-xB, yD-yB, zD-zB} 2 -1 0 L = 2,236067977.

Вектор A3A4={xD-xC, yD-yC, zD-zC} 5 -1 0 L = 5,099019514.

3) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}

x

2

−x

1

x−x

1

=

y

2

−y

1

y−y

1

=

z

2

−z

1

z−z

1

Параметрическое уравнение прямой:

x=x₀+lt

y=y₀+mt

z=z₀+nt

Уравнение прямой A1A2(-1,-4,5)

\frac{x-6}{-1}= \frac{y-8}{-4}= \frac{z-2}{5} .

−1

x−6

=

−4

y−8

=

5

z−2

.

Параметрическое уравнение прямой:

x=6-t

y=8-4t

z=2+5t.

4) Уравнение плоскости А1А2А3.

x-6 y-8 z-2

-1 -4 5

-4 -4 5 = 0

(x-6)((-4)*5-(-4)*5) - (y-8)((-1)*5-(-4)*5) + (z-2)((-1)*(-4)-(-4)*(-4)) =

= - 15y - 12z + 144 = 0

Упростим выражение: - 5y - 4z + 48 = 0.

5) Уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3, - это высота из точки А4 на основание пирамиды.

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C).

\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C} .

A

x−x

0

=

B

y−y

0

=

C

z−z

0

.

Уравнение плоскости A1A2A3: - 5y - 4z + 48 = 0.

Уравнение А4М: \frac{x-7}{0}= \frac{y-3}{-5}= \frac{z-7}{-4}.

0

x−7

=

−5

y−3

=

−4

z−7

.

6) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:

l(x- x₀) + m(y- y₀) + n(z- z₀) = 0

Координаты точки A4(7;3;7)

Координаты вектора A1A2(-1;-4;5)

-1(x - 7) + (-4)(y - 3) + 5(z - 7) = 0

Искомое уравнение плоскости:

-x - 4y + 5z-16 = 0.

7) Уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2.

Необходимая для решения точка А3(2; 4; 7) задана по условию, а направляющий вектор для искомой прямой возьмём тот же, что для прямой А1А2, так как они параллельны: n=(-1;-4;5).

ответ: \frac{x-2}{-1}= \frac{y-4}{-4}= \frac{z-7}{5} .

−1

x−2

=

−4

y−4

=

5

z−7

.

Пошаговое объяснение:

Вот ответ