Question

1. катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. найдите расстояние от точки пересечения медиан до гипотенузы. 2. бросают два игральных кубика. какова вероятность того, что произведение выпавших на обоих кубиках очков не превосходит 20 3. допуская что стрелки часов движутся равномерно определите через какое время после того как часы показывали 4 ч минутная стрелка догонит часовую

Answer 1

1.

Обозначим треугольник ABC (∠C - прямой), медианы CK и AL, их точку пересечения - O. (Первая картинка)

Гипотенуза AB равна 10 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Отсюда AK=KB=CK=5 (по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе).

Из прямоугольного ΔACL по теореме Пифагора

$\bf AL=\sqrt{AC^2+CL^2}= \sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Медианы в точке пересечения делятся в соотношении 2:1 считая от вершины, отсюда

$\bf OK=5 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{3}\\ AO=2\sqrt{13} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$

Рассмотрим ΔAOK (синим цветом на рисунке). Проведем в нем высоту OM (ее длина - искомое расстояние). Обозначим MK=x, откуда AM=5-x. По теореме Пифагора из прямоугольных ΔOMK и ΔOAM

$\bf OM^2=OK^2-MK^2\\ OM^2=AO^2-AM^2\\ \Rightarrow AO^2-AM^2=OK^2-MK^2\\ \\ \left(\dfrac{4\sqrt{13}}{3}\right)^2-(5-x)^2=\left(\dfrac{5}{3} \right)^2-x^2\\ \dfrac{16 \cdot 13}{9}-25+10x-x^2=\dfrac{25}{9}-x^2\\ 208-225+90x=25\\ 90x=42\\ x=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15} \\ \Rightarrow \ OM=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2-\left(\dfrac{7}{15}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{25}{9}-\dfrac{49}{225}}=\sqrt{\dfrac{625-49}{225}}=\sqrt{\dfrac{576}{225}}=\\ =\dfrac{24}{15}=1,6$

ответ: 1,6

2.

Решаем табличкой (Вторая картинка).

Всего возможных исходов 6·6=36. 6 из них условию не удовлетворяют (красным цветом), т.е. 36-6=30 исходов благоприятны (зеленым цветом). Отсюда вероятность того, что произведение не превышает 20, равняется 30/36=5/6.

ответ: 5/6

3.

Рассчитаем скорости стрелок. Минутная стрелка делает полный оборот (360°) за 60 минут, т.е. ее скорость равна 360/60=6°/мин. Часовая стрелка совершает оборот за 12 часов, т.е. ее скорость равна 360/(12·60)=0,5°/мин.

4 часа это 4/12=1/3 часть от окружности, т.е. 360/3=120°. Обозначим искомое время t, тогда угол часовой стрелки изменяется по закону 120+0,5t, а минутной - 6t. Составим уравнение.

$\bf 120+0,5t=6t\\ 5,5t=120\\ t=\dfrac{120}{5,5}=\dfrac{240}{11} \ (min)$

ответ: 240/11 мин