Question

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Answer 1

$-1; \quad 1; \quad 2; \quad 0;$

Пошаговое объяснение:

Запишем матрицу системы:

$\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\2&3&4&-5 \quad | \quad 9\\3&4&-5&-6 \quad | \quad -9\\4&-5&-6&-7 \quad | \quad -21\end{array}\right);$

Умножим все элементы первой строки на –2, –3 и –4 и почленно сложим с элементами второй, третьей и четвёртой строк соответственно:

$\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\1 \cdot (-2)+2&2 \cdot (-2)+3&3 \cdot (-2)+4&4 \cdot (-2)-5 \quad | \quad 7 \cdot (-2)+9\\1 \cdot (-3)+3&2 \cdot (-3)+4&3 \cdot (-3)-5&4 \cdot (-3)-6 \quad | \quad 7 \cdot (-3)-9\\1 \cdot (-4)+4&2 \cdot (-4)-5&3 \cdot (-4)-6&4 \cdot (-4)-7 \quad | \quad 7 \cdot (-4)-21\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\-2+2&-4+3&-6+4&-8-5 \quad | \quad -14+9\\-3+3&-6+4&-9-5&-12-6 \quad | \quad -21-9\\-4+4&-8-5&-12-6&-16-7 \quad | \quad -28-21\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&-2&-14&-18 \quad | \quad -30\\0&-13&-18&-23 \quad | \quad -49\end{array}\right);$

Умножим все элементы второй строки на –2 и –13 и почленно сложим с элементами третьей и четвёртой строк соответственно:

$\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&-1 \cdot (-2)-2&-2 \cdot (-2)-14&-13 \cdot (-2)-18 \quad | \quad -5 \cdot (-2)-30\\0&-1 \cdot (-13)-13&-2 \cdot (-13)-18&-13 \cdot (-13)-23 \quad | \quad -5 \cdot (-13)-49\end{array}\right)=$$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&2-2&4-14&26-18 \quad | \quad 10-30\\0&13-13&26-18&169-23 \quad | \quad 65-49\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&0&-10&8 \quad | \quad -20\\0&0&8&146 \quad | \quad 16\end{array}\right);$

Умножим все элементы третьей строки на 0,8 и сложим почленно с элементами четвёртой строки:

$\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&0&-10&8 \quad | \quad -20\\0&0&-10 \cdot 0,8+8&8 \cdot 0,8+146 \quad | \quad -20 \cdot 0,8+16\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&0&-10&8 \quad | \quad -20\\0&0&-8+8&6,4+146 \quad | \quad -16+16\end{array}\right)=$

$=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\quad | \quad 7\\0&-1&-2&-13 \quad | \quad -5\\0&0&-10&8 \quad | \quad -20\\0&0&0&152,4 \quad | \quad 0\end{array}\right);$

$152,4 \cdot x_{4}=0 \Rightarrow \mathbf {x_{4}=0};$

$-10 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=-20, \quad x_{4}=0 \Rightarrow -10 \cdot x_{3}=-20 \Rightarrow \mathbf {x_{3}=2};$

$-x_{2}-2 \cdot x_{3}-13 \cdot x_{4}=-5, \quad x_{3}=2, \quad x_{4}=0 \Rightarrow -x_{2}-4=-5 \Rightarrow -x_{2}=-5+4 \Rightarrow$

$\Rightarrow -x_{2}=-1 \Rightarrow \mathbf {x_{2}=1};$

$x_{1}+2 \cdot x_{2}+3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4}=7, \quad x_{2}=1, \quad x_{3}=2, \quad x_{4}=0 \Rightarrow x_{1}+2+6+0=7 \Rightarrow$

$\Rightarrow x_{1}+8=7 \Rightarrow x_{1}=7-8 \Rightarrow \mathbf {x_{1}=-1};$