Question

Используя признаки Даламбера и Коши исследовать сходимость рядов.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

3.1

признак Даламбера

$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =q;$   при q < 1 - ряд сходится, q > 1 - ряд расходится, q = 1 -

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}} }{\frac{n^3}{3^n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} *\frac{3^n}{3^{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{3n^3} =\frac{1}{3}$

q < 1 - ряд сходится

3.2

признак Коши

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{n}{2n+1})^n } = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{2n+1} =\frac{1}{2}$

q < 1 - ряд сходится

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим этот вопрос о сходимости рядов, используя признаки Даламбера и Коши. Для начала, давайте вспомним, что такое ряд.

Ряд - это бесконечная сумма последовательности чисел, записанная в виде:
S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...

Теперь рассмотрим данный ряд: 1/2 + 3/8 + 5/16 + ... + (2n-1)/(2^n) + ...

Шаг 1: Используем признак Даламбера
Признак Даламбера позволяет нам исследовать сходимость ряда с положительными членами. Для этого нам нужно вычислить предел отношения соседних членов ряда:

Dₙ = (aₙ₊₁ / aₙ) = [(2(n+1)-1) / (2^(n+1))] / [(2n-1) / (2^n)]
= [(2n+1) / (2^(n+1))] * [(2^n) / (2n-1)]
= (2n+1) / 2(2n-1)
= (2n+1) / (4n-2)

Шаг 2: Вычисляем предел Dₙ при n стремящемся к бесконечности
Для того чтобы оценить сходимость ряда, нам нужно узнать, сходится ли предел Dₙ к значению, меньшему 1:

lim(n→∞)[(2n+1) / (4n-2)]

Для этого мы можем использовать правило Лопиталя:

lim(n→∞)[(2n+1) / (4n-2)] = lim(n→∞)[2 / 4] = 1/2

Давайте посмотрим на полученное значение. Получившийся предел равен 1/2, что меньше 1.

Шаг 3: Интерпретация результата
Исходя из признака Даламбера, если предел Dₙ меньше 1, то ряд сходится абсолютно. Это значит, что исследуемый ряд сходится.

Однако, для полной уверенности в проверке сходимости ряда, мы также можем использовать признак Коши.

Шаг 4: Используем признак Коши
Признак Коши основан на определении предела корня n-той степени от абсолютного значения каждого члена ряда:

Cₙ = ((aₙ)^(1/n)) = [((2n-1)/(2^n))^(1/n)]
= [(2n-1)^(1/n)] / [2^(1/n)]
= [(2n-1)^(1/n)] / 2

Шаг 5: Вычисляем предел Cₙ при n стремящемся к бесконечности
Мы должны узнать, сходится ли предел Cₙ к значению, меньшему 1:

lim(n→∞)[((2n-1)^(1/n)) / 2]

Мы можем использовать правило Лопиталя:

lim(n→∞)[((2n-1)^(1/n)) / 2] = lim(n→∞)[((2n-1) / (2n-1))^(1/(n-1)) * (1/n) / 2]
= lim(n→∞)[((1)^(1/(n-1)) * (1/n) / 2]
= lim(n→∞)[1/n] / 2
= 0 / 2
= 0

Вычисленный предел равен 0, что меньше 1.

Шаг 6: Интерпретация результата
Исходя из признака Коши, если предел Cₙ меньше 1, то ряд сходится абсолютно. Это подтверждает наш результат из признака Даламбера и указывает на сходимость ряда.

Итак, на основе признаков Даламбера и Коши, мы можем заключить, что данный ряд сходится абсолютно.