Question

Математика 2 курс, ДиффУравнения сдать долги)
всех с новым годом)

Answer 1

1.6

Это ДУ с разделяющимися переменными

$(3 + {y}^{2} )dx + (2 + {x}^{2} )dy = 0 \\ (2 + {x}^{2} )dy = - (3 + {y}^{2} )dx \\ \int\limits \frac{dy}{3 + {y}^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2} \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} + {( \sqrt{3}) }^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + {( \sqrt{2} }^{2} ) } \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } arctg( \frac{y}{ \sqrt{3} } ) = \frac{1}{ \sqrt{2} } arctg( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) + C \\ arctg( \frac{y}{ \sqrt{3} } ) = \sqrt{ \frac{3}{2} } arctg( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) + C$

общее решение

3.6

это линейное ДУ

$y' - \frac{y}{x + 1} = {e}^{x} (x + 1) \\$

замена:

$y = UV \\ y' = U'V+ V'U$

$U'V + V'U - \frac{UV}{x + 1} = { e}^{x} (x + 1) \\ U'V+ U(V' - \frac{V}{x + 1} ) = {e}^{x} (x + 1) \\ \\ 1)V' - \frac{V}{x + 1} = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{V}{x + 1} \\ \int\limits \frac{dV}{V} = \int\limits \frac{dx}{x + 1} \\ ln(V) = ln(x + 1) \\ V = x + 1 \\ \\ 2)U'V = {e}^{x} (x + 1) \\ \frac{dU}{dx} \times (x + 1) = {e}^{x} (x + 1) \\ U = \int\limits {e}^{x} dx \\ U = {e}^{x} + C \\ \\ y = UV = (x + 1)( {e}^{x} + C) = \\ = {e}^{x} x + {e}^{x} + Cx + C$

общее решение