Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями; y=x^2+4,y=6

3.Найдите общее решение неравенств: log1/2(x^2+4)<-3 и 11^1+X2>1/121

Answer 1

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$  квадратных единиц.

Пошаговое объяснение:

$y=x^{2}+4, \quad y=6 \Rightarrow x^{2}+4=6 \Rightarrow x^{2}=2 \Rightarrow x_{1}=-\sqrt{2}, \quad x_{2}=\sqrt{2};$

Найдём абсциссу вершины параболы:

$y=x^{2}+4 \Rightarrow y'=(x^{2}+4)'=2x;$

$2x=0 \Rightarrow x=0;$

$y=0^{2}+4=0+4=4;$

Нижняя точка параболы имеет ординату, равную 4. Вторая ограничивающая линия имеет ординату 6, значит, график функции

$y=6$

находится выше графика функции

$y=x^{2}+4.$

Отсюда имеем:

$S=\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(6-(x^{2}+4))} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(6-x^{2}-4)} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {(2-x^{2})} \, dx = \int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {2} \, dx -$

$-\int\limits^{\sqrt{2}}_{-\sqrt{2}} {x^{2}} \, dx = 2x \bigg | _{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}-\frac{x^{3}}{3} \bigg | _{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=2 \cdot (\sqrt{2}-(-\sqrt{2}))-(\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}-\frac{(-\sqrt{2})^{3}}{3})=$

$=2 \cdot (\sqrt{2}+\sqrt{2})-(\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3})=4\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{12\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3};$