Question

Найти наибольшее целое значение m, при котором квадратичная форма
L =4mx$\frac{2}{1}$+3x$\frac{2}{2}$+48x1x2 не является знакоопределенной.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам нужно проанализировать знаки коэффициентов квадратичной формы. Затем мы выведем условие, при котором квадратичная форма не будет знакоопределенной.

Квадратичная форма L = 4mx^2 + 3x1^2 + 48x1x2, где m - целое число.

Первым шагом, мы должны определить знаки коэффициентов.

У нас есть:

a = 4m
b = 3
c = 48

Затем, мы можем использовать критерий знакоопределенности. Если все угловые миноры матрицы квадратичной формы одного знака, то она будет положительно определенной. Если все угловые миноры матрицы имеют чередующиеся знаки, то она будет отрицательно определенной. Если матрица имеет угловые миноры с разными знаками, то она будет не знакоопределенной.

Теперь, посчитаем угловые миноры матрицы:

M1 = 4m
M2 = 3
D = b^2 - 4ac = 9 - 4(4m)(48) = 9 - 768m

Мы получили, что первый угловой минор M1 = 4m, второй угловой минор M2 = 3 и дискриминант D = 9 - 768m.

Если мы хотим, чтобы квадратичная форма не являлась знакоопределенной, то мы должны найти такие значения m, при которых выполняется необходимое условие - угловые миноры имеют разные знаки.

Угловой минор M1 должен быть отрицательным, а угловой минор M2 должен быть положительным.

Таким образом, имеем два неравенства:

1) M1 < 0
2) M2 > 0

Подставим значения M1 и M2:

1) 4m < 0
2) 3 > 0

Решим неравенства:

1) 4m < 0
4m / 4 < 0 / 4
m < 0

2) 3 > 0 (всегда истинно)

Таким образом, нашим условием будет m < 0.

Итак, максимальное целое значение для m будет максимальным отрицательным целым числом. В школьной математике, обычно используется предел - бесконечность, чтобы указать на максимальное или минимальное значение.

Таким образом, максимальное значение m будет m = -∞ (минус бесконечность).

То есть, для любого отрицательного целого числа m, квадратичная форма не будет знакоопределенной.