Question

Решить задачу Коши
у''+4y'-5y=x*e^x, y(0)=0, y'(0)=0

Answer 1

$1)y'' + 4y' - 5y = 0 \\ y = {e}^{ kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 4k - 5) = 0 \\ D = 16 + 20 = 36 \\ k1 = \frac{ - 4 + 6}{2} = 1 \\ k2 = - 5 \\ y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{ - 5x}$

$у = {e}^{x} (Ax + B) \times x$

Умножаем еще на х, так как один из корней (х=1) совпадает с коэффициентом у числа е в правой части.

$у = {e}^{x} (A {x}^{2} + Bx)$

$у' = {e}^{x} ( A{x}^{2} + Bx) + {e}^{x} (2Ax + B) = \\ = {e}^{x} ( A{x}^{2} + Bx + 2Ax + B)$

$у''= {e}^{x} (A {x}^{2} + Bx + 2Ax + B) + {e}^{x} (2Ax + B + 2A) = \\ = {e}^{x} ( A{x}^{2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B)$

подставляем в НЛДУ, сразу выносим е^х за скобку.

${e}^{x} ( A{x}^{2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B + 4A {x}^{2} + 4Bx + 8 Ax + 4B- 5A {x}^{2} - 5Bx) = x {e}^{x} \\ {e}^{x} (12Ax + 2A+ 6B) = x {e}^{x} \\ \\ 12A = 1 \\ 2A+ 6B = 0 \\ \\ A = \frac{1}{12 } \\ B = - \frac{1}{3} A= - \frac{1}{36}$

$у = {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{x}{36} ) \\$

$y = C1 {e}^{x} + C2 {e}^{ - 5x} + {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{x}{36} ) \\$

- общее решение.

$y(0) = 0,y'(0) = 0$

$y' = C1 {e}^{x} - 5 C2 {e}^{ - 5x} + {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{x}{36} ) + {e}^{x} ( \frac{x}{6} - \frac{1}{36} ) = \\ = C1{e}^{x} - 5C 2{e}^{x} + {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12} + \frac{x}{36} - \frac{1} {36} )$

система:

$0 = C1 + C2 + 0 \\ 0 = C1 -5 C2 - \frac{1}{36} \\ \\ C1 = - C2 \\ - C2 - 5C2 = \frac{1}{36} \\ \\ - 6C2 = \frac{1}{36} \\ C2 = - \frac{1}{216} \\ \\ C1 = \frac{1}{216}$

$y = \frac{ {e}^{x} }{216} - \frac{ {e}^{ - 5x} }{216} + {e}^{x}( \frac{ {x}^{2} }{12} - \frac{x}{36} ) \\$

частное решение