прощения, если решение слишком длинное. Более короткого строгого доказательства я не нашёл.
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164 Пусть a,b,c нечётные, тогда в левой части сумма 7 нечётных слагаемых, которая тоже нечётная и не может равняться чётному числу из правой части. Аналогично, если среди этих чисел одно или два нечётных, то в левой части одно или три нечётных слагаемых. Значит, все эти числа чётные. Пусть a=2a', b=2b', c=2c', где a',b',c' - какие-то натуральные числа. Тогда уравнение будет выглядеть так:
8a'b'c'+4a'b'+4b'c'+4a'c'+2a'+2b'+2c'=164. Сократим на 2, получим: 4a'b'c'+2a'b'+2b'c'+2a'c'+a'+b'+c'=82.
Предположим, что a≥b≥c и a'≥b'≥c'. Докажем, что c'=1. Действительно, пусть это не так. Тогда a'≥b'≥c'≥2. Причём если a'=b'=c'=2, равенство неверно: 4*8+8+8+8+2+2+2=62≠82. Пусть a'=3, b'=2, c'=2, тогда левая часть равна 48+12+12+12+3+2+2=91>82. Тогда при других значениях a',b',c', таких, что a'≥b'≥c'≥2, левая часть тем более больше 82.
При c'=1 уравнение примет вид: 4a'b'+2a'b'+2b'+2b'+a'+b'=81 или 6a'b'+3a'+3b'=81, 2a'b'+a'+b'=27. Очевидно, что ровно одно из чисел a', b' нечётно. Предполагая, что a'≥b', переберём возможные значения a', b'.
При b'=1 2a'+a'=26, левая часть делится на 3, правая нет, противоречие. При b'=2 4a'+a'=25. a'=5. Таким образом, получаем решение a=10, b=4, c=2. Легко проверить, что при этих значениях равенство верно. Тогда abc=80. При b'=3 6a'+a'=24, противоречие, 24 на 7 не делится. При b'≥4 2a'b'≥32, равенство заведомо не выполняется, так что перебирать нет смысла.
Вообще говоря, тройка (10,4,2) - не единственное решение уравнения. Мы предположили, что a≥b≥c, но если это не так, остальные 5 троек (10,2,4), (2,4,10), (2,10,4), (4,10,2), (4,2,10) - также решения. Тем не менее, во всех случаях произведение abc равно 2*4*10=80. Это и будет ответом.
№ 1 Китайский язык.Он является официальным языком Китайской Народной Республики,Тайваня и Сингапура. Во всём мире на нём говорят свыше 1,3 млрд человек и поэтому он занимает первую строчку в списке самых распространенных языков мира.
Китайский язык считается наиболее сложным языком в мире,он входит в шестерку официальных языков
№ 2 Английский язык, самый распространенный язык в мире по количеству стран, которые он охватывает - 106 стран. Официальным и основным языком английский является в Великобритании. В таких странах как Индия, Ирландия, Новая Зеландия, Канада и Филиппины английский используют как официальный, но помимо него есть еще и свои официальные языки.
№ 3 Хинди,на нем говорят в Индии, Непале, Бангладеш и Пакистане.
Многие предсказывают, что в скором времени Хинди станет языком с самым большим количеством носителей в мире, и опередит Китай, но когда это произойдет и вообще произойдет ли, остается неизвестным.
№ 4 Испанский язык.На испанском говорят в 31 стране мира. Возник испанский язык в Испании в средневековье и распространился по миру во времена Великих географических открытий. Испанский язык является официальным языком международных организаций: Организация Объединённых Наций , Евросоюз, Союз южноамериканских наций и др.
№ 5 Арабский язык.На арабском языке говорят в 58 странах мира. Наибольшее число носителей арабского сосредоточено в Саудовской Аравии, Ираке, Кувейте, Сирии, Ливане, Иордании и Египте.
Арабский язык распространяется по миру еще и благодаря главной книге мусульман - Корану. Арабский стал шестым официальным языком в 1974 году.
№ 6 Русский - 250 млн.носителей.На русском языке говорят в 17 странах мира. Русский — официальный язык России, Казахстана, Беларуси, Кыргызстана и Таджикистана. Широко распространён на Украине, в Латвии и Эстонии. В меньшей степени в странах, входивших в состав Советского Союза.
Русский язык является одним из шести официальных языков Организации Объединённых Наций,самым распространенным языком в Европе и самым распространенным славянским языком в мире.
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164
Пусть a,b,c нечётные, тогда в левой части сумма 7 нечётных слагаемых, которая тоже нечётная и не может равняться чётному числу из правой части. Аналогично, если среди этих чисел одно или два нечётных, то в левой части одно или три нечётных слагаемых. Значит, все эти числа чётные. Пусть a=2a', b=2b', c=2c', где a',b',c' - какие-то натуральные числа. Тогда уравнение будет выглядеть так:
8a'b'c'+4a'b'+4b'c'+4a'c'+2a'+2b'+2c'=164. Сократим на 2, получим:
4a'b'c'+2a'b'+2b'c'+2a'c'+a'+b'+c'=82.
Предположим, что a≥b≥c и a'≥b'≥c'.
Докажем, что c'=1. Действительно, пусть это не так. Тогда a'≥b'≥c'≥2. Причём если a'=b'=c'=2, равенство неверно: 4*8+8+8+8+2+2+2=62≠82. Пусть a'=3, b'=2, c'=2, тогда левая часть равна 48+12+12+12+3+2+2=91>82. Тогда при других значениях a',b',c', таких, что a'≥b'≥c'≥2, левая часть тем более больше 82.
При c'=1 уравнение примет вид: 4a'b'+2a'b'+2b'+2b'+a'+b'=81 или
6a'b'+3a'+3b'=81, 2a'b'+a'+b'=27. Очевидно, что ровно одно из чисел a', b' нечётно. Предполагая, что a'≥b', переберём возможные значения a', b'.
При b'=1 2a'+a'=26, левая часть делится на 3, правая нет, противоречие.
При b'=2 4a'+a'=25. a'=5. Таким образом, получаем решение a=10, b=4, c=2. Легко проверить, что при этих значениях равенство верно. Тогда abc=80.
При b'=3 6a'+a'=24, противоречие, 24 на 7 не делится.
При b'≥4 2a'b'≥32, равенство заведомо не выполняется, так что перебирать нет смысла.
Вообще говоря, тройка (10,4,2) - не единственное решение уравнения. Мы предположили, что a≥b≥c, но если это не так, остальные 5 троек (10,2,4), (2,4,10), (2,10,4), (4,10,2), (4,2,10) - также решения. Тем не менее, во всех случаях произведение abc равно 2*4*10=80. Это и будет ответом.