Question

решить систему дифференциальных уравнений . Ничего не получается у меня . Прикрепляю фото

Answer 1

$x'= 8x + 2y \\ y'= - 3x + 15y \\ \\ y = \frac{x' - 8x}{2} (1)\\ y' = - 3x + 15y (3)\\ \\ y' = \frac{x'' - 8x'}{2} (2)$

подставляем (1) и (2) в (3)

$\frac{x''- 8x'}{2} = - 3x + 15 \times \frac{x' - 8x}{2} \\ x'' - 8x' = - 6x + 15(x'- 8x) \\ x'' - 8x' = - 6x + 15x' - 120x \\ x'' - 23x' + 126x = 0 \\ x = {e}^{kt} \\ {e}^{kt} ( {k}^{2} - 23k + 126) = 0 \\ D = 529 - 504 = 25 \\ k1 = \frac{23 + 5}{2} = 14 \\ k2 = 9 \\ \\ x = C1 {e}^{9t} + C2 {e}^{14t}$

получаем:

$x = C1 {e}^{9t} + C2 {e}^{14t} (.) \\ y = \frac{x' - 8x}{2} (...)$

$x'= 9C1 {e}^{9t} + 14C2 {e}^{14t} (..)$

подставляем (.) и (..) в (...)

$y = \frac{1}{2} (9C1 {e}^{ 9t} + 14C2 {e}^{14t} - 8C1 {e}^{ 9t} - 8C2 {e}^{14t} ) = \\ = \frac{1}{2} (C1 {e}^{ 9t} + 6C2 {e}^{14t} ) = \frac{1}{2} C1 {e}^{ 9t} + 3C2 {e}^{14t}$

$x = C1 {e}^{ 9t} + C2 {e}^{14t} \\ y = \frac{1}{2} C1 {e}^{ 9t} + 3C2 {e}^{14t}$