Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями:y=2x^2-4x+1,y=6-2x-x^2 и выразите её площадь с интеграла.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

y=2x²-4x+1,    y=6-2x-x²

$\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

прежде всего ричуем графики функций и определяем нужную оласть

определиться, какая функция у₁ а какая у₂ просто. та, чей график "выше" на нужном интервале интергирования, та и у₁

у нас это

y₁=6-2x-x²  и тогда другая функция будет y₂=2x²-4x+1

а подынтегальное выражение будет  у₁ - у₂ = -3x₂+2x+5

с пределами хуже. по графикам точно не определить...

придется искать аналитически точки пересечения графиков функций

2x² -4x +1 = -x² -2x + 6  ⇒  3x²-2x -5= 0   ⇒ x₁ = -1   x₂ = 10/6

теперь есть всё необходимое, считаем интеграл

$S =\int\limits^{10/6}_{-1} {( -3x^2+2x+5)} \, dx =-3\int\limits^{10/6}_{-1} {(x^2)} \, dx+2\int\limits^{10/6}_{-1} {(x)} \, dx+5\int\limits^{10/6}_{-1} {} \, dx=$

$=-3\frac{x^3}{3} I_{-1}^{5/3}+\frac{2x^2}{2} I_{-1}^{5/3}+5x I_{-1}^{5/3}=-\frac{152}{27} +\frac{16}{9} +\frac{40}{3} =\frac{256}{27} =9\frac{13}{27}$