Question

Вектор d = a + b + c необходимо представить в виде линейной комбинации векторов, как d = αa + βb, если а = (3; –1); b = (1; –2); с = (–1; 7). Чему должны быть равны α и β?

Answer 1

Для представления вектора d = a + b + c в виде линейной комбинации векторов, нужно найти значения α и β, такие что d = αa + βb.

Давайте начнем с заданных векторов:
a = (3, -1)
b = (1, -2)
c = (-1, 7)

Теперь запишем уравнение для представления вектора d в виде линейной комбинации:
d = αa + βb

Распишем это уравнение в координатной форме:
(d_x, d_y) = α(a_x, a_y) + β(b_x, b_y)

где d_x и d_y - координаты вектора d.

Подставим значения координат векторов a, b и c:
(d_x, d_y) = α(3, -1) + β(1, -2)

Раскроем скобки:
(d_x, d_y) = (3α, -α) + (β, -2β)

Теперь сложим координаты:
d_x = 3α + β
d_y = -α - 2β

Теперь нам нужно найти такие значения α и β, при которых выполняются эти равенства. То есть мы имеем систему уравнений:

3α + β = d_x
-α - 2β = d_y

Продолжим решение системы:

Умножим первое уравнение на 2 и прибавим его к второму уравнению:
-α - 2β + 2(3α + β) = d_y + 2d_x

Упростим:
-α - 2β + 6α + 2β = d_y + 2d_x

Сгруппируем переменные α и β:
5α = d_y + 2d_x

Выразим α:
α = (d_y + 2d_x)/5

Теперь подставим найденное значение α в первое уравнение:
3α + β = d_x

Подставим значение α и решим уравнение относительно β:
3((d_y + 2d_x)/5) + β = d_x
(d_y + 2d_x)/5 + β = d_x
β = d_x - (d_y + 2d_x)/5

Теперь мы знаем значения α и β, при которых вектор d представляется в виде линейной комбинации векторов a и b.

Окончательный ответ:
α = (d_y + 2d_x)/5
β = d_x - (d_y + 2d_x)/5