Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения
6xdx-6ydy=2x^2ydy-3xy^2 dx

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$6xdx-6ydy=2x^2ydy-3xy^2 dx$

это уравнение с разделяющимися переменными. по обычному алгоритму приводим его к удобоваримому виду

1. всё что с dx влево, что с  dy вправо

$6xdx+3xy^2dx=6ydy+2x^2ydy$

$3x(2+y^2)dx=2y(3+x^2)dy$

2. делим обе части на (2+у²)(3+х²)

$\frac{3x}{3+x^2} dx=\frac{2y}{2+y^2} dy$

вот оно наше замечательненькое уравнение с разделяющимися переменными

теперь берем интегралы от обеих сторон и получаем решение нашего уравнения

левый интеграл

$\int{\frac{3x}{3+x^2} } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x^2+3\\dx=\frac{1}{2x} du\\\end{array}\right] =\frac{3}{2} \int {\frac{1}{u } \, du =ln(x^2+3)^{3/2}+C$

правый интеграл

$\int {\frac{2y}{2+y^2} } \, dy =\left[\begin{array}{ccc}u=y^2+2\\dy=\frac{1}{2y} du\\\end{array}\right] =ln(y^2+2)+C$

и вот наш ответ

$y^2=C_1(x^2+3)^{3/2}-2$