Question

Привести общее уравнение кривой второго порядка f(x,y )=0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой
Ax+By+C=0 . Построить графики кривой и прямой.

f(x,y )=0 y^2-2y+3x-3=0 Ax+By+C=0 x+y+1=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) определим тип кривой и приведем к каноническому виду.

y² - 2y + 3x - 3 = 0

Приводим квадратичную форму

B = y²

к главным осям, то есть к каноническому виду.

матрица этой квадратичной формы:

0   0

0   1

находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(0 - λ)x₁ + 0y₁ = 0

0x₁ + (1 - λ)y₁ = 0

характеристическое уравнение:

$\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0\\0&1-\lambda\\\end{array}\right] =\lambda^2-\lambda=0$

$\lambda^2 - \lambda =0;$  ⇒  $\lambda_1 = 1;$    $\lambda_2 = 0;$

итак, мы имеем параболу   $(\lambda_2 = 0)$

обшее уравнение  канонического вида

(y - y₀)² = 2p(x - x₀)

выделим в нашем уравнении полный квадрат для у

(y² -2y +1) +3x -3 -1 =0

(y-1)² =  -3x -4

теперь нам надо справа выделить 2р и (х -х₀)

(y-1)² = 2*(-3/2)(x -4/3) - это и есть канонический вид заданного уравнения

теперь точки пересечения

мне удобнее решать систему

$\left \{ {{y^2-2y+3x-3=0} \atop {x+y+1=0}} \right.$

із второго выразим х и подставим в первое

x = -y -1

y²-2y+3(-y-1) -3=0; y² -5y -6 = 0; ⇒ y₁ = 6;   y₂= -1  ⇒ х₁ = -6-1=-7;  х₂ = -(-1)-1 =0

вот это получились наши точки пересечения

М₁(-7;6)   М₂(0; -1)