в средние века деревни были вокруг замков феодалов, и крестьяне всецело зависели от этих господ. это происходило потому, что на заре формирования феодализма короли раздаривали своим вассалам земли вместе с людьми, на них проживающими. к тому же внутренние и внешние войны, в состоянии которых постоянно пребывало средневековое общество, разоряли крестьян. нередко случалось, что сами крестьяне просили феодалов о , когда не могли самостоятельно защитить себя от набегов и грабежей своих соседей или чужестранцев. в таких случаях они должны были отдать свои наделы феодалу-защитнику и оказывались в полной зависимости от него. крестьяне, которые были официально свободны, но не имели прав на владение землей, назывались земельно зависимыми. во франции, , италии и западной германии их называли вилланами. крестьяне лично зависимые были самыми бесправными. в испании их называли ременсами, во франции – сервами. а в даже вилланы не имели права покидать своего господина ни при каких обстоятельствах.
кроме налогов, крестьяне платили своему сеньору за пользование его мельницей, печью, виноградным прессом и прочими приспособлениями, которых не было в хозяйстве крестьян. чаще всего крестьяне отдавали за это часть своей продукции: зерно, вино, мед и т.д. чтобы получить свободу (это стало возможным в xii – xiii крестьяне могли заплатить большой выкуп, но земля по-прежнему оставалась во владении феодала.
скандинавские крестьяне эпохи средневековья находились в самом выгодном положении: они были свободными владельцами земли, но должны были выплачивать какой-то процент своей продукции феодалу. жизнь крестьян в средневековые времена, как и теперь, была тяжелее и суровее, чем жизнь горожан. чтобы вырастить урожай, надо было много месяцев трудиться не покладая рук и молить бога о благоприятной погоде, о том, чтобы не забрали кормильца на очередную войну, чтобы по крестьянскому полю не проскакали несколько десятков всадников из свиты феодала в погоне за лесным зверем во время охоты, чтобы овощи не погрызли зайцы, а зерно не поклевали птицы, чтобы не сожгли, не разорили урожай какие-нибудь лихие люди. и даже если все будет благополучно, выращенного вряд ли хватит, чтобы досыта прокормить обычно большую семью. часть урожая нужно отдать феодалу, часть – оставить на семена, а уж остальное – семье. и всё
крестьяне жили в маленьких домиках, крытых камышом или соломой. дым от очага клубился прямо в жилом помещении, стены которого были вечно черные от сажи. окон или вовсе не было, а если и были, то маленькие и без стекол, так как стекло было слишком дорогим для бедного крестьянина. в холодную пору эти отверстия просто затыкали какими-нибудь тряпками. зимой часто даже свою немногочисленную скотину крестьяне держали у себя в жилище. темно, тесно, дымно было в домах средневековых крестьян. зимними вечерами при тусклом свете лучины (свечи стоили дорого) крестьянин что-нибудь мастерил или ремонтировал, его жена шила, ткала, пряла. еда в доме была скудной и однообразной: лепешки, похлебки, каши, овощи. хлеба часто не хватало до нового урожая. чтобы не пользоваться мельницей феодала (ведь за это надо платить), крестьяне просто толкли зерно в долбленной деревянной посудине – получалось нечто вроде муки. а весной снова пахать, сеять, оберегать поля. и молиться, молиться истово, чтобы не случились заморозки на всходы, чтобы не было засухи, или другой беды. чтобы чума и мор не пришли в деревню, чтобы и в этом году не случилось очередного военного похода, для участия в котором могли забрать сыновей. бог милостив, хотя на все воля его святая.
1. Сечение шара - круг. Площадь круга: S = πr².
S₁ = πr₁² = 25π ⇒ r₁ = 5
S₂ = πr₂² = 144π ⇒ r₂ = 12
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
Обозначим ОС = х, тогда OS = 17 - х.
Из прямоугольных треугольников ОСА и OSB выразим радиус шара по теореме Пифагора:
R² = (17 - x)² + r₁² = (17 - x)² + 25
R² = x² + r₂² = x² + 144
(17 - x)² + 25 = x² + 144
289 - 34x + x² + 25 = x² + 144
34x = 170
x = 5
R = √(x² + 144) = √(25 + 144) = √169 = 13
Sпов. шара = 4πR² = 4 · π · 169 = 676π
2. Так как вершины квадрата лежат на сфере, то квадрат вписан в сечение сферы, в окружность, центр которой лежит в точке пересечения диагоналей квадрата.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. Тогда SD - проекция наклонной OD на плоскость АВС, значит ∠SDO = 60° - угол между радиусом и плоскостью АВС.
OS - искомое расстояние.
BD = 12√2 как диагональ квадрата,
SD = 6√2.
Из прямоугольного треугольника SOD:
tg 60° = SO / SD
SO = SD · tg 60° = 6√2 · √3 = 6√6
3. Так как стороны треугольника касаются шара, то круг - сечение шара - вписан в треугольник.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
OS = √2 - расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Полупериметр треугольника АВС:
p = (8 + 10 + 12)/2 = 15
По формуле Герона:
Sabc = √(p·(p - AB)·(p - BC)·(p - AC))
Sabc = √(15 · 7 · 5 · 3) = √(5 · 3 · 7 · 5 · 3) = 15√7
Sabc = p·r, где r = SK - радиус вписанной окружности.
p · SK = 15√7
SK = 15√7 / 15 = √7
Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора:
ОК = √(SK² + OS²) = √(7 + 2) = √9 = 3
R = 3
4. Ядро - шар. Если его переплавили в конус, значит объем шара и конуса одинаков.
Пусть R = 1 - радиус шара, r - радиус конуса.
Vшара = 4/3 π R³ = 4/3π
Vконуса = 1/3 πr² · h = 4/3π, отсюда
r² · h = 4
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса, по теореме Пифагора:
r² + h² = 6
Получили систему уравнений:
r² · h = 4
r² + h² = 6
r² = 6 - h²
(6 - h²) · h = 4 (2)
Решим второе:
6h - h³ = 4
h³ - 6h + 4 = 0
(h - 2)(h² + 2h - 2) = 0
h = 2
или
h² + 2h - 2 = 0
D/4 = 1 + 2 = 3
h = - 1 - √3 - не подходит по смыслу задачи, или
h = - 1 + √3 - не подходит по условию, так как высота не меньше 1.
ответ: h = 2