Вспомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем : ; Здесь мы взяли первый член равный единице и q∈N; Очевидно, что эта сумма есть целое число, иными словами делится на . Пусть здесь . Имеем: число целое (*). Нам же нужно доказать, что число целое.
Итак, раз число (*) целое, то число дает остаток 1 от деления на число ; Осталось лишь найти остаток от деления на то же число числа . Найдем произведение этих двух чисел: Пусть остаток от деления этого числа на число равен x; Мы знаем, что остаток от деления числа на число равен 1. А остаток от деления числа на число равен 2. Стало быть, остаток от деления числа на число равен 3. Отсюда остаток от деления числа на число равен ; Но , поэтому остаток равен 2. Мы только что нашли x. x = 2, а остаток от деления на число числа , как уже говорилось равен 1. Значит искомый остаток от деления на числа равен 2. Отсюда и следует, что делится на
Сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на 9, что и само число. Поскольку сумма цифр 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + 9*9 = 285 даёт остаток 6 при делении на 9, то и само число даёт остаток 6 при делении на 9.
Но полные квадраты могут давать только такие остатки: – квадраты чисел вида 9k, 9k + 3, 9k + 6: остаток 0 – квадраты чисел вида 9k + 1, 9k + 8: остаток 1 – квадраты чисел вида 9k + 2, 9k + 7: остаток 4 – квадраты чисел вида 9k + 4, 9k + 5: остаток 7
Значит, исходное число не является полным квадратом.
====
Вспомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем
Здесь мы взяли первый член равный единице и q∈N; Очевидно, что эта сумма есть целое число, иными словами
Итак, раз число (*) целое, то число
Отсюда остаток от деления числа
Извини, что запутано :)