Question

Исследовать на экстремум функцию:

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ищем kритические точки

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} =3x^2-6y;$   $\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} =-6x+24y^2$

решаем систему

$\displaystyle \left \{ {{3x^2-6y=0} \atop {-6x-24y^2=0}} \right.$     $\displaystyle \left \{ {{3x^2-6y=0} \atop {x=4y^2} \hfill} \right.$      $\displaystyle \left \{ {{48y^2-6y=0} \atop {x=4y^2} \hfill} \right.$

 $\displaystyle \left \{ {{y_1=0} \atop {x_1=0}} \right. ;$   $\displaystyle \left \{ {{y_2=0.5} \atop {x_2=1}\hfill } \right. ;$

имеем две критические точки М₁ (0;0) и М₂(1;0,5)

теперь определимся, где минимум, где максимум

$A=\displaystyle \frac{\delta ^2z}{\delta x^2} = 6x$

$C=\displaystyle \frac{\delta ^2z}{\delta y^2} = 48y$

$B=\displaystyle \frac{\delta ^2z}{\delta x \delta y} = -6$

$A_{(0;0)} = 0;$   $B_{(0;0)}=-6;$   $C_{(0;0)}=0;$  

AC - B² = -36 < 0 глобального экстремума нет.

$A_{(1;0.5)}=6;$   $B_{(1;0.5)}=-6;$   $C_{(1;0.5)}=24;$

AC - B²= 108 > 0 и A > 0 ,  в точке M₂(1;0.5) имеется минимум

z(1;0.5) = 4