Question

Y=x^4-5x^2+4 --полное исследование функции и построение графика

Answer 1

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.
2. Функция непериодическая.
3. Исследуем данную функцию на четность или нечетность.
$y(-x)=(-x)^4-5(-x)^2+4=x^4-5x^2+4=y(x)$

Поскольку $y(-x)=y(x)$, то функция является чётной по определению.

4. Найдем точки пересечения с осями координат.
   4.1. точки пересечения с осью абсцисс(то есть, принимаем у=0)
$x^4-5x^2+4=0$
Решая это уравнение как квадратное уравнение относительно $x^2$
$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x^2=4\\\\ x^2=1\end{array}\right~~~~\Rightarrow~~~~\left[\begin{array}{ccc}x_{1,2}=\pm2\\ \\ x_{3,4}=\pm1\end{array}\right$

$(\pm2;0),~~(\pm1;0)$ - точки пересечения с осью Ох.

  4.2. точки пересечения осью ординат(то есть, принимаем х=0)
$y=0^4-5\cdot 0^2+4=4$

(0;4) - точки пересечения с осью Оу.

5. Исследуем теперь на монотонность:
$y'=(x^4-5x^2+4)'=(x^4)'-(5x^2)'+(4)'=4x^3-10x\\ y'=0;~~ 4x^3-10x=0\\ 2x(2x^2-5)=0;~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x_1=0;\\ \\ x_{2,3}=\pm \dfrac{\sqrt{10}}{2} \end{array}\right$

6. Точки перегиба.
$y''=(4x^3-10x)'=(4x^3)'-(10x)'=12x^2-10\\ \\ y''=0;~~~ 12x^2-10=0;\\ \\ x=\pm \dfrac{ \sqrt{30} }{6}$

Горизонтальной, наклонной и вертикальной асимптот нет.

Таблица и график смотреть во вложении.