Question

Число 2-2i является корнем многочлена f(x) с вещественными коэффициентами. На какой из следующих многочленов обязательно делится f(x)? а) x^2-4x+8
б)(x+2)(x-2)
в)(x+2)
г) x^2+4x+11
д)x-2

Answer 1

Чтобы определить, на какой из данных многочленов делится f(x), нам нужно использовать одно из свойств корней многочленов.

Свойство гласит, что если a+bi является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то его комплексно сопряженное число a-bi также является корнем этого многочлена.

В данном случае, число 2-2i является корнем многочлена f(x). Следовательно, его комплексно сопряженное число 2+2i также является корнем f(x).

Нас интересует многочлен, на который обязательно делится f(x). Чтобы это узнать, мы просто подставим корни многочлена f(x) в каждый из данных многочленов и посмотрим, получаем ли мы ноль.

Подставим число 2-2i в данные многочлены:

a) f(2-2i) = (2-2i)^2 - 4(2-2i) + 8
= (4 - 4i + 4i - 4i^2) - (8 - 8i) + 8
= (4 - 4i + 4i + 4) - (8 - 8i) + 8
= (8 - 4i) - (8 - 8i) + 8
= 8 - 4i - 8 + 8i + 8
= 8 - 8 + 8 + 4i + 8i
= 16 + 12i

b) f(2-2i) = (2-2i + 2)(2-2i - 2)
= (4-4i)(0-2i)
= -8i(0-2i)
= 16

в) f(2-2i) = (2-2i + 2)
= 4 - 2i

г) f(2-2i) = (2-2i)^2 + 4(2-2i) + 11
= (4 - 4i + 4i - 4i^2) + (8 - 8i) + 11
= (4 - 4i + 4i + 4) + (8 - 8i) + 11
= (8 - 4i) + (8 - 8i) + 11
= 8 - 4i + 8 - 8i + 11
= 27 - 12i

д) f(2-2i) = (2 - 2i) - 2
= 0 - 2i

Мы видим, что только при подстановке числа 2-2i в многочлен a) получается ненулевой результат (16 + 12i). Поэтому можем сказать, что многочлен f(x) обязательно делится на многочлен а) x^2 - 4x + 8.