Question

Укажи характер монотонности последовательности yn=n^2/6^n.

В своих рассуждениях используй доказательство. Запиши, чему равна разность данных членов последовательности (сначала упрости выражение):

yn+1−yn= ...n+...-...n^2/...^n+1.

Запиши в виде формулы неравенство, подтверждающее или опровергающее характер монотонности:

y...

ответ:

последовательность не является монотонной

последовательность является монотонной и возрастающей

последовательность является монотонной и убывающей

Answer 1

Для того чтобы определить характер монотонности последовательности yn=n^2/6^n, нам необходимо рассмотреть разность между последовательными членами. Давайте вычислим эту разность.

Первым делом, упростим выражение yn+1−yn. Заменим n в yn+1 на n+1:

yn+1 = (n+1)^2 / 6^(n+1)

yn = n^2 / 6^n

yn+1−yn = (n+1)^2 / 6^(n+1) - n^2 / 6^n

Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем в данном случае будет 6^(n+1), так как это наименьшее общее кратное знаменателей. Приведем дроби к общему знаменателю:

yn+1−yn = ( (n+1)^2 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)

Теперь нам необходимо упростить эту разность. Раскроем скобки в числителе:

yn+1−yn = ( n^2 + 2n + 1 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 * 6^n + 2n * 6^n + 1 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 * 6^n + 2n * 6^n + 6^n - n^2 * 6 * 6^n ) / 6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 * 6^n - n^2 * 6 * 6^n )/6^(n+1) + (2n * 6^n + 6^n)/6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 * (1 - 6^(n+1)) )/6^(n+1) + (2n + 1)/6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 - n^2 * 6^(n+1) )/6^(n+1) + (2n + 1)/6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 - n^2 * 6^(n+1) + 2n + 1)/6^(n+1)

yn+1−yn = ( n^2 * (1 - 6^(n+1)) + 2n + 1)/6^(n+1)

Упростим полученное выражение. Заметим, что в числителе у нас есть выражение (1 - 6^(n+1)), которое является отрицательным при любом натуральном n. Также заметим, что 2n + 1 является положительным выражением. Поэтому можно сказать, что разность yn+1−yn является отрицательной.

Таким образом, имеем формулу неравенства, подтверждающую характер монотонности:

yn+1−yn < 0

Ответ: последовательность является монотонной и убывающей.