Question

Решите сравнение, теория чисел: 20x-50=0(mod 35)

Answer 1

Хорошо, я рад помочь с этим вопросом. Давайте решим сравнение 20x - 50 = 0 (mod 35) пошагово и подробно.

Сначала давайте вспомним, что означает "20x - 50 = 0 (mod 35)". Это означает, что разность между 20x и 50 делится на 35 без остатка.

Шаг 1: Добавьте 50 к обеим сторонам уравнения. Это поможет нам избавиться от -50 на левой стороне.

20x - 50 + 50 = 0 + 50 (mod 35)
20x = 50 (mod 35)

Шаг 2: Теперь нам нужно упростить правую сторону уравнения, чтобы получить число меньшее 35.

20x = 50 (mod 35)
20x ≡ 50 (mod 35)

Выражение "20x ≡ 50 (mod 35)" означает, что 20x и 50 дают одинаковый остаток при делении на 35. Наша задача - найти значение x, которое удовлетворяет этому условию.

Шаг 3: Найдите обратное значение 20 по модулю 35.

Обратное значение числа a по модулю m (если оно существует) можно найти, используя алгоритм Евклида. В нашем случае, a = 20 и m = 35.

35 = 1(20) + 15
20 = 1(15) + 5
15 = 3(5) + 0

Последний остаток, который равен 0, является НОД (наибольшим общим делителем) 35 и 20. Таким образом, обратное значение 20 по модулю 35 существует.

Шаг 4: Умножьте обе стороны уравнения на обратное значение 20 по модулю 35.

20x * 20 ≡ 50 * 20 (mod 35 * 20)
400x ≡ 1000 (mod 700)

Шаг 5: Упростите полученное сравнение в лучшую форму.

Нам нужно найти наименьшее натуральное число x, которое делится на 700 и имеет остаток 1000 при делении на 400.

Давайте упростим числа:

400x ≡ 1000 (mod 700)

400x = 1000 + 700k (для некоторого целого k)

Теперь давайте разделим оба коэффициента на 100:

4x = 10 + 7k

Теперь давайте рассмотрим остатки при делении на 7:

4x ≡ 10 (mod 7)

Мы видим, что 4 * 2 = 8 делится на 7 без остатка:

4 * 2 ≡ 8 (mod 7)

Из этого следует, что x = 2 является одним из возможных решений сравнения.

Ответ: x = 2 (mod 35) или x ≡ 2 (mod 35).