Question

надо! вычеслить определенный интеграл $\int\limits^\pi _0 {x} \,cos2x dx$

Answer 1

Найдем неопределённый интеграл, потом подставим пределы:

$\int\limits \: x \cos(2x) dx \\$

по частям:

$U = x \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU = dx \\ dV = \cos(2x) dx \: \: \: \: V = \frac{1}{2} \int\limits \cos(2x) dx = \\ \: \: \: \: \: \: = \frac{1}{2} \sin(2x)$

$UV - \int\limits \: VdU= \\ = \frac{x}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \int\limits \sin(2x) dx = \\ = \frac{x}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C$

С пределами:

$( \frac{x}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) )|^{\pi} _ {0} = \\ = \frac{\pi}{2} \sin(2\pi) + \frac{1}{4} \cos(2\pi) - 0 - \frac{1}{4} \cos(0) = \\ = 0 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$