Пусть удалили число m, тогда осталось (n - 1) число, сумма оставшихся чисел 1 + 2 + ... + (m - 1) + (m + 1) + ... + n = n (n + 1) / 2 - m. Эта сумма по условию равна 40 3/4 * (n - 1).
Так как в знаменателе у среднего арифметического 4, значит, (n - 1) делится на 4, чтобы сумма была целой. Пусть n - 1 = 4k, составляем уравнение: (4k + 1) * (4k + 2) / 2 - m = 40 3/4 * 4k (2k + 1) * (4k + 1) - m = 163k m = 8k^2 - 157k + 1
Нужно, чтобы было выполнено неравенство 1 <= m <= n + 1 = 4k + 2. Посчитаем, при каких k это будет так.
Первое неравенство: 8k^2 - 157k + 1 >= 1 8k^2 - 157k >= 0 8k - 157 >= 0 k >= 157/8 k >= 20
Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*130=390 закрашенных клеток. Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*130=520 закрашенных клеток. Значит, количество клеток 390 <= N <= 520. Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки. 4a + 3b = N a + b = 130; b = 130 - a А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке. 7x + y = N x + y = 130; y = 130 - x Получаем такое уравнение с 2 неизвестными: 4a + 3(130 - a) = 7x + 130 - x = N --> min 4a + 390 - 3a = 6x + 130 a + 260 = 6x Наименьшее решение: x = 44, потому что 44*6 = 264 - наименьшее кратное 6, больше 260 Тогда а = 4, b = 130 - 4 = 126; y = 130 - 44 = 86. N = 4a + 3b = 4*4 + 3*126 = 7x + y = 7*44 + 86 = 394 Закрашено всего 394 клетки, это 44 строки по 7 и 86 строк по 1 клетке, или 4 столбца по 4 и 126 столбцов по 3 клетки.
Эта сумма по условию равна 40 3/4 * (n - 1).
Так как в знаменателе у среднего арифметического 4, значит, (n - 1) делится на 4, чтобы сумма была целой. Пусть n - 1 = 4k, составляем уравнение:
(4k + 1) * (4k + 2) / 2 - m = 40 3/4 * 4k
(2k + 1) * (4k + 1) - m = 163k
m = 8k^2 - 157k + 1
Нужно, чтобы было выполнено неравенство 1 <= m <= n + 1 = 4k + 2. Посчитаем, при каких k это будет так.
Первое неравенство:
8k^2 - 157k + 1 >= 1
8k^2 - 157k >= 0
8k - 157 >= 0
k >= 157/8
k >= 20
Второе неравенство:
8k^2 - 157k + 1 <= 4k + 2
8k^2 - 161k - 1 <= 0
Решать такое неравенство не хочется, так что заметим, что оно выполнено для всех k от 1 до некоторого k0, и k0 найдём подбором.
k = 20: 8 * 400 - 161 * 20 - 1 = -21 <= 20
k = 21: 8 * 441 - 161 * 21 - 1 = 146 > 0
Второе неравенство выполнено при k <= 20.
Итак, 20 <= k <= 20, т.е. k = 20.
Тогда m = 8k^2 - 157k + 1 = 61.
ответ: 61.