Question

Найдите косинус угла между плоскостями 6x – 6y – 4z + 1 = 0 и –5x + 4y + z – 6 = 0.

Answer 1

Для того чтобы найти косинус угла между двумя плоскостями, мы должны знать их нормальные векторы.

Нормальный вектор плоскости определяется коэффициентами перед переменными x, y и z в уравнении плоскости.

Итак, у нас есть две плоскости с уравнениями:
Плоскость 1: 6x - 6y - 4z + 1 = 0
Плоскость 2: -5x + 4y + z - 6 = 0

Чтобы найти нормальные векторы для обеих плоскостей, мы должны взять коэффициенты перед x, y и z в уравнениях плоскостей.

Для плоскости 1:
Нормальный вектор плоскости 1 = (6, -6, -4)

Для плоскости 2:
Нормальный вектор плоскости 2 = (-5, 4, 1)

Затем, чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы можем использовать следующую формулу:

cos(θ) = (a • b) / (||a|| * ||b||)

Где a • b - скалярное произведение векторов a и b, ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b соответственно.

Давайте теперь найдем значения для a и b.

Для вектора a (нормальный вектор плоскости 1):
a = (6, -6, -4)
||a|| = √(6^2 + (-6)^2 + (-4)^2) = √(36 + 36 + 16) = √(88) = √(2 * 2 * 2 * 11) = 2√11

Для вектора b (нормальный вектор плоскости 2):
b = (-5, 4, 1)
||b|| = √((-5)^2 + 4^2 + 1^2) = √(25 + 16 + 1) = √(42)

Теперь вычислим скалярное произведение a • b:

a • b = 6 * (-5) + (-6) * 4 + (-4) * 1 = -30 - 24 - 4 = -58

Теперь мы можем вычислить косинус угла θ:

cos(θ) = (a • b) / (||a|| * ||b||) = (-58) / (2√11 * √42) = -29 / (√(2 * 11) * √42)

Упрощая, получаем:

cos(θ) = -29 / (2√(11 * 42)) = -29 / (2√(462)) = -29 / (2 * √(2 * 231)) = -29 / (2 * √(2) * √(231))

Таким образом, косинус угла между этими двумя плоскостями равен -29 / (2 * √2 * √231).

Ответ: косинус угла между плоскостями 6x - 6y - 4z + 1 = 0 и -5x + 4y + z - 6 = 0 равен -29 / (2 * √2 * √231).