Question

Вычислите пределы под а)б)в)г)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а)

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2}{2x^3+8x+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{2}{x^3} }{2+\frac{8}{x^2} +\frac{5}{x^3} } =\frac{1}{2}$

б)

$\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{x^2- 6x-7}{x^2-9x+ 14}$

так как числитель и знаменатель обращаются в нуль при x=7, то 7 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 7) .

x² -6x -7 = (x-7)(x+1)

x² - 9x +14 = (x-7)(x-2)

и тогда получим

$\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{x^2- 6x-7}{x^2-9x+ 14}= \lim_{x \to 7} \frac{(x-7)(x+1)}{(x-7)(x-2)} = \lim_{x \to 7} \frac{x+1}{x-2 } = \frac{8}{5}$

в)

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{5x^2}$

1-cos = 2sin²(x/2)

следствию свойства первого замечательного предела

sinx ≈ x, тогда 2sin²(x/2) ≈x²/2

и вот что получилось

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{5x^2}= \lim_{x \to 0} \frac{2sin^2(x/2)}{5x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} }{5x^2} =\frac{1}{10}$

г)

здесь применим свойство второго замечательного предела

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{a}{x} )^{bx}=e^{ab}$

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{2x-1}{2x+1} ) ^X= \lim_{x \to \infty}(1+\frac{-2}{2x+1} )^\displaystyle{\frac{2x}{2} }}= \lim_{x \to \infty} (1+\frac{-2}{2x+1} )^ \displaystyle {\frac{1}{2} (2x+1)} }=$

$\displaystyle =e^\displaystyle{(-2)*\frac{1}{2} }= e^{-1} =\sqrt{e}$