Question

Ребро куба равно 8 см. Через диагональ основания под углом в 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь треугольника DBM

Answer 1

Для начала разберемся с построением задачи. У нас есть куб с ребром 8 см. Построим оси координат: x, y и z. Основание куба лежит на плоскости x-y. Линия, проведенная в точке B перпендикулярно оси x, будет находиться на высоте h от плоскости x-y. При этом эта линия будет образовывать угол 45° с осью z. Таким образом, у нас есть треугольник DBM, где D и M - это точки пересечения плоскости с боковым ребром.

Перейдем к решению.

1) Найдем высоту треугольника DBM.
Мы знаем, что угол между линией BM и осью z равен 45°. Так как линия BM является диагональю основания, то она равна стороне основания, что равно 8 см. Пользуясь тригонометрическим соотношением sin(45°) = h / 8, найдем высоту h.
sin(45°) = h / 8
h = 8 * sin(45°)
h = 8 * (√2 / 2)
h = 8 * 0.707
h ≈ 5.656 см

2) Теперь найдем длину отрезка BD.
Используя теорему Пифагора, можно найти длину отрезка BD.
По теореме Пифагора, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна BD = √(BM^2 + CM^2).
Так как сторона основания куба равна 8 см, то основание треугольника DBM, а значит сторона CM, тоже равно 8 см.
BD = √(8^2 + 8^2)
BD = √(64 + 64)
BD = √128
BD ≈ 11.314 см

3) Найдем площадь треугольника DBM.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу S = (1/2) * a * h, где a - длина основания, h - высота.
В нашем случае, a = BD ≈ 11.314 см и h ≈ 5.656 см.
S = (1/2) * 11.314 * 5.656
S ≈ 31.999 см^2

Таким образом, площадь треугольника DBM составляет примерно 31.999 квадратных сантиметра.