Question

Найдите косинус угла Е треугольника CDE, C(-1;5); D(3;1); E(2;8).

Answer 1

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника CDE.
Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Для стороны CD, координаты точек C(-1;5) и D(3;1):
d_CD = √((3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2)
= √((3 + 1)^2 + (1 + 5)^2)
= √(4^2 + 6^2)
= √(16 + 36)
= √52
= 2√13

Для стороны CE, координаты точек C(-1;5) и E(2;8):
d_CE = √((2 - (-1))^2 + (8 - 5)^2)
= √((2 + 1)^2 + (8 - 5)^2)
= √(3^2 + 3^2)
= √(9 + 9)
= √18
= √(9 * 2)
= 3√2

Для стороны DE, координаты точек D(3;1) и E(2;8):
d_DE = √((2 - 3)^2 + (8 - 1)^2)
= √((-1)^2 + 7^2)
= √(1 + 49)
= √50
= √(25 * 2)
= 5√2

Шаг 2: Найдем угол EDС (угол, образованный сторонами DE и DC) с помощью формулы косинусов.

В формуле косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
где c - длина стороны CDE противолежащая углу C.

В нашем случае, мы хотим найти косинус угла E, поэтому перепишем формулу:
cos(E) = (d_CE^2 + d_DE^2 - d_CD^2) / (2 * d_CE * d_DE)

Подставляем значения:
cos(E) = (3√2)^2 + (5√2)^2 - (2√13)^2 / (2 * 3√2 * 5√2)
= (9 * 2) + (25 * 2) - (4 * 13) / (2 * 3 * 5 * √2)
= 18 + 50 - 52 / (6 * 5 * √2)
= 66 - 52 / (30 * √2)
= 14 / (30 * √2)
= 7 / (15 * √2)

Таким образом, косинус угла E треугольника CDE равен 7 / (15 * √2).