Question

Даны точки А(1;2;3), В(-1;3;5), С(2;0;4), D(3;-1;2). Найти:
- общее уравнение плоскости;

- расстояние от точки D до плоскости АВС;

- площадь треугольника АВС;

- объём пирамиды DАВС;

- уравнение прямой АВ;

- уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ.
Буду очень рад, если увижу ответ. Заранее

Answer 1

По технологии расчётов порядок вопросов не совпадает с порядком ответов.

1) Для получения уравнения плоскости нужно найти СМЕШАННОЕ произведение векторов.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA          z - zA

xB - xA      yB - yA        zB - zA

xC - xA      yC - yA        zC – zA  = 0

Подставим данные А(1;2;3), В(-1;3;5), С(2;0;4), D(3;-1;2) и упростим выражение:

x - 1             y - 2           z - 3

-1 - 1         3 - 2          5 - 3

2 - 1             0 - 2          4 - 3   = 0

x - 1             y - 2           z - 3

-2                  1                2

1                 -2                1      = 0

(x – 1)(1·1-2·(-2)) – (y – 2)((-2)·1-2·1) + (z – 3)((-2)·(-2)-1·1) = 0

5(x – 1) + 4(y – 2) + 3(z – 3) = 0

5x + 4y + 3z - 22 = 0.

3) Площадь треугольника АВС определим по формуле S = (1/2)|ABxAC|.

Коэффициенты векторного произведения примем из пункта 1.

S = (1/2)√(52 + 42 + 32) = (1/2) √(25 + 16 + 9) = (1/2)√50 = 5√2/2 = 3,535534.

4)  Находим вектор AD = D(3;-1;2) - А(1;2;3) = (2; -3, -1).

Объём равен 1/6 смешанного произведения(AB*AC)xAD.

Используем найденное значение AB*AC = (5; 4; 3).

                 x       y       z  

AB x AC = 5       4       3  

       AD = 2      -3      -1  

Произведение: 10    -12       -3 = -5 . Используем модуль:

V = (1/6) * 5 = (5/6) куб.ед.

2) Для определения расстояния Н от точки D до плоскости АВС используем формулу объёма пирамиды: V = (1/3)SoH,  

отсюда H = 3V/So = 3*(5/6)/(5√2/2) = √2/2 = 0,7071.

5) Для уравнения прямой АВ используем найденное значение вектора АВ(-1; 2; 1).

АВ: (x - 1)/(-1) = (y – 2)/2 = (z – 3)/1.

6) В уравнении прямой, проходящей через точку D параллельно прямой АВ, направляющий вектор сохраняется такой же, как и у прямой АВ.

Подставляем к переменным координаты точки D(3;-1;2).

DE: (x - 3)/(-1) = (y + 1)/2 = (z – 2)/1.