Question

Найти решение дифференциально уравнения
y’’=x/e^2x

Answer 1

$y'' = \frac{x}{ {e}^{2x} } \\ y''= x {e}^{ - 2x}$

$y'= \int\limits \: x {e}^{ - 2x} dx \\$

по частям:

$U= x \: \: \: \: \: \: \: \: dU = dx \\ dV= {e}^{ - 2x} dx \: \: \:\:\:\: V= - \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ - 2x} d( - 2x) = \\ = - \frac{1}{2} {e}^{ - 2x}$

$\int\limits \: x {e}^{ - 2x} dx = UV - \int\limits \: VdU = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{2} \int\limits {e}^{ - 2x} dx = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{2} \times ( - \frac{1}{2} { e }^{ -2 x} ) + C1 = \\ = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1$

получаем:

$y' = - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1 \\ y = \int\limits( - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx = \\ = - \int\limits \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} dx+ \int\limits( - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx$

первый интеграл решаем по частям:

$U = - \frac{x}{2} \: \: \: \: \: \: \: \: dU = - \frac{1} {2}dx \\ dV = {e}^{ - 2x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: V = - \frac{1}{2} {e}^{ - 2x}$

$= \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} - \frac{1}{4} \int\limits {e}^ { - 2x }dx = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + C2$

получаем:

$y = \int\limits( - \frac{x}{2} {e}^{ - 2x} )dx + \int\limits( - \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1)dx = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{8} {e}^{ - 2x} + C1x + C2 = \\ = \frac{x}{4} {e}^{ - 2x} + \frac{1}{4} {e}^{ - 2x} + C1x + C2 = \\ = \frac{1}{4 {e}^{2x} } (x + 1) + C1x + C2$

общее решение