Можно ли приведенные ниже отношения разбить на два класса: отношения эквивалентности и отношения порядка, если они заданы на множестве Х = {35, 37, 42, 46, 15, 26, 5, 11, 17, 21}. а –«оканчивается в записи одной и той же цифрой»,
б –«быть больше»,
в –«иметь один и тот же остаток при делении на 5»,
г –«иметь в записи одинаковые цифры».
1. Отношение а – «оканчивается в записи одной и той же цифрой»:
- Симметричность: Если число a оканчивается в записи одной и той же цифрой, то число b тоже должно оканчиваться в записи одной и той же цифрой. Это свойство отношения выполняется.
- Рефлексивность: Любое число оканчивается в записи одной и той же цифрой само на себя, так как оно может оканчиваться только определенной цифрой. Свойство рефлексивности выполняется.
- Транзитивность: Если число a оканчивается в записи одной и той же цифрой и число b тоже оканчивается в записи одной и той же цифрой, то число c также должно оканчиваться в записи одной и той же цифрой. Например, 35 оканчивается цифрой 5, 5 оканчивается цифрой 5, значит, 35 и 5 оканчиваются цифрой 5. Значит, свойство транзитивности выполняется.
Таким образом, отношение а - отношение эквивалентности.
2. Отношение б – «быть больше»:
- Антирефлексивность: Ни одно число не может быть больше самого себя. Свойство антирефлексивности выполняется.
- Асимметричность: Если число a больше числа b, то число b не может быть больше числа a. Свойство асимметричности выполняется.
- Транзитивность: Если число a больше числа b и число b больше числа c, то число a должно быть больше числа c. Например, 35 больше 5 и 5 больше 2, поэтому 35 должно быть больше 2. Свойство транзитивности выполняется.
Таким образом, отношение б - не является отношением эквивалентности, но является отношением порядка.
3. Отношение в – «иметь один и тот же остаток при делении на 5»:
- Симметричность: Если число a имеет один и тот же остаток при делении на 5, что и число b, то число b также должно иметь тот же остаток при делении на 5, что и число a. Это свойство отношения выполняется.
- Рефлексивность: Любое число имеет тот же остаток при делении на 5, что и оно само. Свойство рефлексивности выполняется.
- Транзитивность: Если число a имеет один и тот же остаток при делении на 5, что и число b, и число b имеет тот же остаток при делении на 5, что и число c, то число a также должно иметь тот же остаток при делении на 5, что и число c. Например, 35 и 5 имеют остаток 0 при делении на 5, 5 и 20 имеют остаток 0 при делении на 5, значит, 35 и 20 имеют остаток 0 при делении на 5. Значит, свойство транзитивности выполняется.
Таким образом, отношение в - отношение эквивалентности.
4. Отношение г – «иметь в записи одинаковые цифры»:
- Симметричность: Если число a имеет одинаковые цифры в записи, что и число b, то число b также должно иметь те же цифры в записи, что и число a. Это свойство отношения выполняется.
- Рефлексивность: Любое число имеет те же цифры в записи, что и оно само. Свойство рефлексивности выполняется.
- Транзитивность: Если число a имеет одинаковые цифры в записи, что и число b, и число b имеет те же цифры в записи, что и число c, то число a также должно иметь те же цифры в записи, что и число c. Например, 35 и 53 имеют одинаковые цифры, 53 и 35 имеют одинаковые цифры, значит, 35 и 35 имеют одинаковые цифры. Значит, свойство транзитивности выполняется.
Таким образом, отношение г - отношение эквивалентности.
Таким образом, отношения а, в и г могут быть разбиты на классы - отношения эквивалентности, а отношение б является отношением порядка.