Question

Нужно, много при якому найбільшому значенні параметра а рівняння [х^2-8[x]+12]=a матиме 6 коренів [ ] - знак модуля

Answer 1

$|x^2-8|x|+12|=a\\ \begin{cases} x^2-8|x|+12=a\\ x^2-8|x|+12=-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 8|x|=x^2+12-a\\ 8|x|=x^2+12+a \end{cases}\\ \begin{cases} 8x=x^2+12-a\\ 8x=-x^2-12+a\\ 8x=x^2+12+a\\ 8x=-x^2-12-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^2-8x+12-a=0\\ x^2+8x+12-a=0\\ x^2-8x+12+a=0\\ x^2+8x+12+a=0 \end{cases}\quad\left(1\right)$

Найдём дискриминанты уравнений системы (1):

$D_1=64-4(12-a)=64-48+4a=16+4a\\ D_2=64-4(12-a)=64-48+4a=16+4a\\ D_3=64-4(12+a)=64-48-4a=16-4a\\ D_4=64-4(12+a)=64-48-4a=16-4a$

Имеем два различных дискриминанта. Если один из них будет равен 0, а другой будет положительным, система (1) будет иметь 6 корней (два уравнения по 1 корню, два уравнения по 2 корня).

Имеем:

$\begin{cases} 16+4a=0\\ 16-4a0 \end{cases}\quad\quad \begin{cases} 16+4a0\\ 16-4a=0 \end{cases}\\ 1.\;\begin{cases} 16+4a=0\\ 16-4a0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=-4\\ 16+160 \end{cases}\\ 2.\;\begin{cases} 16+4a0\\ 16-4a=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 16+160\\ a=4 \end{cases}$

При a=-4 первая пара квадратных уравнений системы (1) имеют по 1 корню (их дискриминант =0), вторая пара уравнений по 2 корня (D>0).

При a=4 первая пара квадратных уравнений системы (1) имеют по 2 корня (D>0), вторая пара уравнений по 1 корню (D=0).

Наибольшее из найденных значений параметра a равно 4.