Question

Почему скалярное произведение и векторное произведение определяются именно так? Как мы убедились, что в природе действительно скаляр (численное значение) будет равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними. К слову, я это ещё могу себе это объяснить тем, что если мы хотим найти работу, то нужно смотреть ту часть силы, которая совершила перемещение, грубо говоря, надо найти проекцию силы на вектор перемещения, а чтобы получить число, то мы должны перемножить их абсолютные величины. Но ведь в учебниках об этом не пишется и постоянно определяются эти объекты так (в физике же их используют просто потому, что так математики договорились, а разве это вопрос договорённости, когда нам нужно точно знать и доказать строго, что это так), но не объясняется, почему так условились принимать. Например, векторное произведение вообще не могу объяснить. Почему мы в математике без основания вводим те или иные объекты, а потом говорим, что их можно применять в физике, геометрии и алгебре? Откуда у нас уверенность, что они правильно введены и дают правильные ответы. Ну, на самом деле, я убедился в том, что в планиметрии и стереометрии это даёт верные результаты, как например, вывод теоремы косинусов через скалярное произведение, ну и вывод того, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции и параллельна им. Откуда у нас уверенность, что если мы договоримся так определять наши новые объекты и действия с ними (а ведь мы могли определить совсем иначе, если нам можно было договориться), то они будут давать правильные результаты как в физике, так и в геометрии с алгеброй. Есть ли то, откуда это следует, либо доказывается, что эти объекты можно применять в других областях и получать верные выводы для теорем. То есть, на самом деле, теорема про среднюю линию доказывается и без векторов, но почему выводы совпали? Как векторы, относящиеся к другой природе, дали такой же результат, какой дала сама планиметрия? Есть связь, получается? Тогда если есть связь, то где она? Почему она не раскрывается и не доказывается в учебниках? Связь есть, значит, можно доказать строго, что скаляр можно получить из двух векторов, если перемножить их модули, да умножить на косинус угла между ними?​