Question

Нужно решить 2 из 5 любых диф. уравнения из списка. Ставлю максимальный бал
Если что-то непонятно по цифрам и тд, то спрашивайте. Отвечу сразу!

Answer 1

1.

$\frac{xy' - y}{x} = tg( \frac{y}{x} ) \\ \frac{xy'}{x} - \frac{y}{x} = tg( \frac{y}{x} ) \\ y'- \frac{y}{x} = tg( \frac{y}{x} )$

однородное ДУ

Замена:

$\frac{y}{x} = U\\ y = Ux \\ y'= U'x + U$

$U'x + U - U = tg(U) \\ \frac{dU}{dx} \times x = tg(U) \\ \int\limits \frac{dU}{tgU} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{ \cos(U) }{ \sin(U) } dU= ln(x) + C \\ \int\limits \frac{d( \sin(U)) }{ \sin(U) } = ln(x) + ln(C)$

константу можно представить в любом виде, для удобства преобразования пишу lnC

$ln( \sin(U) ) = ln(x) + ln(C) \\ ln( \sin(U) ) = ln(Cx) \\ \sin(U) = Cx \\ \sin( \frac{y}{x} ) = Cx$

общее решение

4.

$( {x}^{2} + {y}^{2} + y)dx = xdy \\y' = \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} + y}{x}$

однородное ДУ

Замена:

$y = Ux \\ y = U'x + U$

$U'x + U = \frac{ {x}^{2} + {(Ux)}^{2} + Ux}{x} \\ U'x + U = \frac{x(x + {U}^{2}x + U) }{x} \\ U'x + U = {U}^{2} x + x + U \\ U'x = x( {U}^{2} + 1) \\ \int\limits \frac{dU}{dx} \times x = x( {U}^{2} + 1) \\ \int\limits \frac{dU}{{U}^{2} + 1 } = \int\limits \: dx \\ arctgU = x + C \\ arctg( \frac{y}{x} ) = x + C$

общее решение