1. f`(x) = 21x^2 - 4x f`(1) = 21*1^2 - 4*1 = 21 - 4 = 17. 2. f`(x) = 6x^2 - 12x. 6x^2 - 12x = 0, 6x(x - 2) = 0, x = 0, x = 2 - критические точки. Первая точка не принадлежит отрезку [1; 4]. f(2) = 2*2^3 - 6*2^2 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1. f(1) = 2*1^3 - 6*1^2 + 7 = 2 - 6 + 7 = 3. f(4) = 2*4^3 - 6*4^2 + 7 = 128 - 96 + 7 = 39. max f(x) = f(4) = 39, min f(x) = f(2) = -1. 3. а) Область определения функции - вся числовая прямая. Проверим функцию на чётность/нечётность: f(-x) = (-x)^3 +3*(-x)^2 + 2. f(-x) =/ f(x), f(-x) =/ -f(x) , значит, данная функция не является чётной или нечётной. Функция непериодическая. б) Асимптоты, поведение функции на бесконечности. Так как функция непрерывна, то вертикальные асимптоты отсутствуют. k = lim f(x) = lim x^3 + 3x^2 + 2 = +беск. x->беск x x Нет и наклонных асимптот. Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности: lim x^3 + 3x^2 + 2 = + беск. x-> +беск Если идём вправо, то график уходит бесконечно вверх, если влево – бесконечно вниз. Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции - любое действительное число. в) Нули функции и интервалы знакопостоянства. Пересечение графика с осью У: x = 0 -> f(0) = 2. Пересечение графика с осью X: f(x) = 0 -> x^3 + 3x^2 + 2 = 0. Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален.
г) Возрастание, убывание и экстремумы функции. Найдём критические точки: f`(x) = 3x^2 + 6x. 3x^2 + 6x = 0, 3x(x + 2) = 0, x = -2, x = 0. + - + ++ -2 0 Следовательно, функция возрастает на (-беск; -2)u(0; +беск) и убывает на (-2; 0). f(-2) = -8 + 12 + 2 = 6 - максимум. f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 - минимум. д) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдём критические точки второй производной: f``(x) = 6x + 6 = 0. x = -1. Определим знаки f``(x): - + + -1 График функции является выпуклым на (-1; +беск) и вогнутым на (-беск; -1). Вычислим ординату точки перегиба: f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4. е) Найдем дополнительные точки, которые точнее построить график
1. -9,8+(+17)-(+3,2)-(13)=(-9,8-3,2)+17+13=-13+13+17=17 Объединяем 1 и 3 слагаемое. Раскрываем скобки, учитывая, что если перед скобкой стоит знак "-", то знак в скобке меняется на противоположный. После нахождения суммы (-9,8) и (-3,2) получается (-13) - складываем с последним слагаемым - получается 0. - Остается 17. 2. В первый день продали - 4000*0,3=1200 кг. Во второй день продали (4000-1200)*0,7=1960 кг. В третий день продали = 4000-1200-1960=840 кг.
Проценты считаются умножением целой части на количество процентов деленное на 100 (100 - это целая часть). Проще - проценты в виде десятичной дроби, т.е. данные проценты делим на сто. В примере 30% - 0,3; 70% - 0,7 Тогда получаем - в первый день продали 30% от всего количества - т.е. целое - 4000 умножаем на 0,3. Во второй день продали 70% от остатка. Находим остаток - т.е. все количество - проданное в первый день и умножаем на 0,7. Ну и в третий день - от общего количества отнимаем проданное в первый и во второй день.
f`(1) = 21*1^2 - 4*1 = 21 - 4 = 17.
2. f`(x) = 6x^2 - 12x.
6x^2 - 12x = 0, 6x(x - 2) = 0, x = 0, x = 2 - критические точки. Первая точка не принадлежит отрезку [1; 4].
f(2) = 2*2^3 - 6*2^2 + 7 = 16 - 24 + 7 = -1.
f(1) = 2*1^3 - 6*1^2 + 7 = 2 - 6 + 7 = 3.
f(4) = 2*4^3 - 6*4^2 + 7 = 128 - 96 + 7 = 39.
max f(x) = f(4) = 39, min f(x) = f(2) = -1.
3.
а) Область определения функции - вся числовая прямая.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
f(-x) = (-x)^3 +3*(-x)^2 + 2.
f(-x) =/ f(x), f(-x) =/ -f(x) , значит, данная функция не является чётной или нечётной. Функция непериодическая.
б) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
k = lim f(x) = lim x^3 + 3x^2 + 2 = +беск.
x->беск x x
Нет и наклонных асимптот.
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
lim x^3 + 3x^2 + 2 = + беск.
x-> +беск
Если идём вправо, то график уходит бесконечно вверх, если влево – бесконечно вниз.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу. Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции - любое действительное число.
в) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Пересечение графика с осью У:
x = 0 -> f(0) = 2.
Пересечение графика с осью X:
f(x) = 0 -> x^3 + 3x^2 + 2 = 0.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален.
г) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки: f`(x) = 3x^2 + 6x.
3x^2 + 6x = 0, 3x(x + 2) = 0, x = -2, x = 0.
+ - +
++
-2 0
Следовательно, функция возрастает на (-беск; -2)u(0; +беск) и убывает на (-2; 0).
f(-2) = -8 + 12 + 2 = 6 - максимум.
f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 - минимум.
д) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
f``(x) = 6x + 6 = 0. x = -1.
Определим знаки f``(x):
- +
+
-1
График функции является выпуклым на (-1; +беск) и вогнутым на (-беск; -1). Вычислим ординату точки перегиба: f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4.
е) Найдем дополнительные точки, которые точнее построить график